Combien de nombres contient l'ensemble des nombres ? 1, 2, 3... ne les comptez pas, il y en a une infinité !

Zéro

Est-on bien sûr que zéro est la limite des petits nombres ? Vérifions. Qu'est-ce qui est plus petit que 1 ? 1/2. Plus petit que 1/2 ? 1/10, que 1/10 ? 1/100, 1/1 million... et à la limite, on arrivera à moins que tout, moins que n'importe quoi, moins que le plus petit de tous les nombres. Rien. Zéro. 0. Rien multiplié par n'importe quoi fait toujours rien. Vraiment ? Et zéro x l'infini ?? Bien malin qui pourrait donner le résultat. C'est une quantité indéfinie en mathématiques.

 
 

C'est quoi le zéro ?

Cet épisode de la série Petits contes mathématiques présente le zéro.

Sans le zéro, il n'y aurait pas de note éliminatoire, de système binaire, de bons comptes qui font de bons amis... et bien d'autres choses encore.

Le zéro a été inventé aux alentours du Ve siècle en Inde. Le mathématicien et astronome  Brahmagupta dessine le vide, le néant, le rien. Il invente un signe pour l'absence et ouvre le chemin de la représentation de ce qui n'était pas représentable jusque-là. Il est le premier à définir le zéro, comme la soustration d'un nombre par lui-même. 

 

Découvrez l'importance du zéro dans l'utilisation des nombres relatifs.

Les très grands nombres

Pour noter les très grands nombres, l’exponentielle est bien pratique : 23 = 2 x 2 x 2 (2 multiplié 3 fois), ou 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 (100 000, soit « 1 » suivi de 5 zéros).

Le Googol, de Edward Kasner est un 1 suivi de 100 zéros ! (un nombre plus grand que le nombre de particules dans l’univers (1080). Connaissez-vous le Googolplex ? Un 1 suivi de … googol zéros ! (Un ruban de papier de la taille de l’univers entier ne suffirait pas pour l’écrire).

Une notation efficace pour les très, très grands nombres : la notation de Knuth « ↑ »

  • 2 ↑ 3 = 8 = 2 x 2 x 2 (le « 2 » apparaît 3 fois séparé par la multiplication)
  • 2 ↑ ↑ 3 = 16 = 2 ↑ (2 ↑ 2) (le « 2 » apparaît 3 fois séparé par une simple flèche) = 2 ↑ 4
  • 2 ↑ ↑ ↑ 3 = 65 536 = 2 ↑ ↑ (2 ↑ ↑ 2) (le « 2 » apparaît 3 fois séparé par une double flèche flèche) = 2 ↑ 4
  • 3 ↑ ↑ ↑ 3 = ? Un nombre beaucoup, beaucoup plus grand que le Googolplex !

Publié le 04/02/13

Modifié le 13/11/19

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