Vecteurs, droites et plans de l’espace

Christophe, professeur de mathématiques, propose un cours sur le calcul vectoriel dans l’espace, avec les notions qui l’accompagnent : translations, combinaisons linéaires de vecteurs, indépendance linéaire, directions de droites et de plans. L’objectif est de mettre en place une géométrie reliée au calcul vectoriel et adaptée aux besoins des autres disciplines.

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Le calcul vectoriel : du plan vers l'espace

Quatre questions flash permettent de revenir sur la géométrie plane : construction vectorielle, problème d’alignement de points.

Comme dans le plan, la notion de vecteur est définie à partir des translations. La multiplication d’un vecteur par un réel conduit à définir la colinéarité de deux vecteurs et permet de caractériser une droite par un point et un vecteur directeur. Les combinaisons linéaires de deux vecteurs de l’espace permettent de caractériser un plan de l’espace par un point et un couple de vecteurs non colinéaires.

L’observation de ce qui « change » dans l’espace conduit à définir la notion de vecteurs linéairement indépendants et à définir ce qu’est une base et un repère dans l’espace. Ces définitions permettent de mener des calculs vectoriels conduisant à décrire la position relative de deux droites, d’une droite et d’un plan, de deux plans, à résoudre des problèmes de parallélisme et d’alignement, à donner une représentation paramétrique d’une droite dans l’espace.

Trois exercices d’application directe permettent de réinvestir les notions du cours.

Comme dans le plan, définition d’un vecteur de l’espace

Nous pouvons considérer dans l’espace la translation de vecteur AB→ et donc construire l’image M’ de tout point M de l’espace de telle sorte que ABM’M soit un parallélogramme.

On définit ainsi un vecteur u→ à partir :

• d’une direction (celle de la droite (AB)),
• d’un sens (de A vers B)
• d’une norme (la distance AB).

Les vecteurs AB→, CC'→ et DD'→ sont des représentants de u→ dans l’espace.

Multiplication d’un vecteur par un réel, colinéarité de deux vecteurs et caractérisation d’une droite par un point et un vecteur directeur

Nous pouvons aussi multiplier un vecteur par un nombre réel.

Combinaisons linéaires de vecteurs et caractérisation d’un plan par un point et un couple de vecteurs non colinéaires

Nous pouvons aussi additionner deux vecteurs.

Vecteurs linéairement indépendants, bases et repères

Ce qui change

Dans le plan :

Deux vecteurs qui ne sont pas colinéaires forment une base.

Et donc tout vecteur du plan peut s’écrire comme une (unique) combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

Dans l’espace :

Il existe des vecteurs qui ne s’écrivent pas comme la combinaison linéaire de deux autres.

Ce qui nous amène à :

• définir la notion de vecteurs linéairement indépendants,
• obtenir une base et un repère de l’espace.

Ce qui va nous permettre de :

• nous ramener à des calculs algébriques avec les coordonnées comme pour un repère et une base du plan.

Représentation paramétrique d’une droite dans l’espace

Avec une application importante :

On peut donner ce qui s’appelle une représentation paramétrique d’une droite de l’espace.