Vecteurs du plan et de l'espace

Dans ce cours, la prof de maths Sophie propose d'étudier les vecteurs du plan et de l'espace.

Retrouvez le support de cours en PDF.

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur est associé à une translation, un déplacement. C’est matérialisé par une flèche →u caractérisé par 3 informations : sa direction, son sens et ce que l’on appelle sa norme, c’est-à-dire sa longueur.

Opérations possibles sur les vecteurs

L’opposé d’un vecteur

L’opposé du vecteur est le vecteur qui permet de faire le retour du point de vue de la translation. Il a la même direction et la même norme, mais va dans le sens contraire.

La somme de deux vecteurs

On peut additionner 2 vecteurs →u et →v, en enchaînant les déplacements. Le vecteur résultant de ces déplacements s’appelle →u + →v ou →v +→u. C’est la somme des 2 vecteurs.

La multiplication d’un vecteur par un réel

On peut multiplier un vecteur par un nombre réel. Si je prends un nombre positif, le vecteur sera dans la même direction et même sens, mais n’aura pas la même norme.

Si je prends un nombre négatif, le vecteur obtenu n’aura pas le même sens, ni la même norme, mais la même direction.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.

Deux vecteurs →u et →v sont donc colinéaires si, et seulement si, l’un d’eux est égal au produit de l’autre par un réel.

Trois points distincts A B, C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs →u = →AB et →v = →AC sont colinéaires.

Deux droites sont parallèles (ou confondues) si, et seulement si, elles admettent des vecteurs directeurs colinéaires

(AB)//(CD) ⇔ →AB et →CD sont colinéaires.

Vecteurs de l’espace coplanaires

Les vecteurs coplanaires sont dans un même plan.

Les bases

Les bases du plan

Une base du plan est un couple (→i ; →j) de vecteurs non nuls et non colinéaires.

→u = x→i + y→j, où x et y sont des nombres réels. On dit que x et y sont les coordonnées du vecteurs →u

Les bases de l’espace

Une base de l’espace est un triplet (→i ; →j ; →k) de vecteurs non nuls et non coplanaires.

→u = x→i + y→j + z→k, où x, y et z sont des nombres réels. On dit que →u a pour cordonnées x, y, z.

Colinéarité de deux vecteurs dans une base orthonormée du plan

Si on munit le plan ou l’espace d’une base, deux vecteurs →u et →v sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Dans le plan, on peut définir le déterminant des 2 vecteurs.
 et   det(→u ; →v) = xy' - x'y

Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.