Vidéo : Le produit scalaire (30 juin)

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Maths30:38

Le produit scalaire (30 juin)

Les cours Lumni - Lycée

Dans ce cours, la professeure de maths Sophie propose de découvrir le produit scalaire, une opération sur les vecteurs.

Retrouvez le support de cours en PDF et un cours sur les vecteurs du plan et de l'espace.

Peut-on généraliser le théorème de Pythagore ?

Grâce au théorème de Pythagore dans un triangle rectangle et sa réciproque, on peut affirmer que, pour un triangle ABC est rectangle en A, BC2 = AB2 + AC2  ⇔ AB2 + AC2 - BC2 = 0

Dans un triangle quelconque, on s’interroge sur la possibilité d’établir une relation métrique entre les longueurs d’un triangle : d = AB2 + AC2 - BC2 ?

(d comme défaut d'orthogonalité)

Pour utiliser le théorème de Pythagore, H est le projeté orthogonal de C sur (AB) dans un triangle ABC.

Si l’angle  est droit, A=H.

Si l’angle  est aigu, H appartient à la demi-droite [AB).

Si l’angle  est obtus, H n’appartient pas à la demi-droite [AB).

 

Cas où l’angle  est aigu : 

BC2 = BH2 + HC2

AC2 = AH2 + HC2

AB2 = (AH + HB)2 = AH2 + HB2 + 2 AH x HB

AC2 + AB2 = AH2 + HC2 + AH2 + HB2 + 2 AH x HB

AC2 + AB2 = BC2 + 2AH+ 2AH x HB = BC2 + 2AH (AH + HB)

⇒ AC2 + AB2 = BC2 + 2AH × AB

 

Cas où l’angle  est obtus :

BC2 = BH2 + HC2

AC2 = AH+ HC2

AB2 = (BH - AH)2 = BH2 + AH2 - 2AH × BH

AC2 + AB2 = AH+ HC2 + BH2 + AH2 - 2AH × BH

AC2 + AB2 = BC- 2AH × BH = BC-2AH × (BH - AH) = BC-2AH x AB

⇒ AC2 + AB2 = BC-2AH x AB

 

On peut donc dire que :

  • quand le triangle est rectangle, d est égale à 0 : 
    AB2 + AC2 - BC2 = 0
  • dans le cas d'un angle aigu, d est égal à 2AB × AH : 
    AB2 + AC2 - BC= 2AB × AH
    les vecteurs →AH et →AB sont dans le même sens.
  • dans le cas d'un angle obtus, d est égal à -2AB × AH : 
    AB2 + AC2 - BC= -2AB × AH
    les vecteurs →AH et →AB sont dans des sens contraires.

Le produit scalaire

Le produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires

Le produit scalaire de deux vecteurs →AH et →AB est le nombre réel, noté →AH . →AB.

si →AH et →AB sont de même sens : →AH . →AB = AB  × AH

si →AH et →AB sont de sens contraire : →AH . →AB = -AB  × AH

Produit scalaire de deux vecteurs quelconques

→AB . →AC = d/2 = 1/2 x (AB2 + AC2 - BC2) = →AB . →AH 

→AB . →AC = →AB . →AH où H est le projeté othogonal de C sur (AB)

  • Si les vecteurs →AH et →AB sont dans le même sens : 
    →AB . →AC = AB x AH
  • Si les vecteurs →AH et →AB sont dans des sens contraires : 
    →AB . →AC = -AB x AH
  • Si H = A, le traingle est rectangle :
    →AB . →AC = 0

La formule de polarisation du produit scalaire est donc →AB . →AC =  1/2 x (AB2 + AC2 - BC2)

Si on utilise la trigonométrie on obtient le théorème d'Al-Kashi qui dit exactement l'écart qu'il y a quand le triangle n'est pas rectangle.

A, B et C sont trois points distincts

Si l’angle  est aigu, →AB . →AC = AB × AH

cos⁡(Â) = AH/AC  donc AH = AC × cos(Â)

→AB . →AC = AB x AC x cos(Â)

Théorème d'Al-Kashi : BC2 = AB2 + AC2 - 2AB × AC x cos(Â)

Configurations particulières

Si →AB  et →ACsont colinéaires et de même sens: →AB . →AC = AB × AC

⇒ Si C = B, →AB . →AC = AB2

Si →AB et →AC sont colinéaires et de sens contraire: →AB . →AC = -AB × AC

⇒ Si A = C, →AB . →AC = →AB . →0 = 0

Si A, B et C sont trois points distincts :

→AB et →AC sont orthogonaux si et seulement si  →AB . →AC = 0

Propriétés et aplications du produit scalaire

Pour tous vecteurs →u et →v,

  • →u . →v est un nombre réel
  • →u . →v = →v . →u
  • →u . (→v + →w ) = →u . →v + →u . →w et (→v + →w ) . →u  = →v . →w + →w . →u
  • (k→u ) . →v = →u . (k→v ) = k × (→u . →v) avec k réel
  • Si →u = →0 ou →v = →0 alors →u.→v = 0

Le produit scalaire permet de calculer une longueur, de calculer un angle et de vérifier une orthogonalité.

Réalisateur : Didier Fraisse

Producteur : france tv studio

Année de copyright : 2020

Année de production : 2020

Année de diffusion : 2020

Publié le 30/06/20

Modifié le 01/07/20

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