Equations différentielles - exercices

Exercice 1

Considérons l’équation différentielle (E) :
{ f′(x) = 0,01f²(x) + 3√x, x ∈ ℝ
{ f(0) = 2

1. Utiliser la méthode d’Euler avec un pas h = 0,1 pour calculer les valeurs approchées de f(0,1), f(0,2) et f(0,3).
2. Ecrire une fonction Python qui prend en argument les conditions initiales de (E) et qui renvoie la liste de 10 réels espacés de 0,1 à partir de 0, la liste des images approchées par la méthode d’Euler de ces réels par f et qui trace la courbe approchée de f.

Exercice 2

Soient (E) : f′′(x) - 3f′(x) + 2f(x) = -e^x, x ∈ ℝ et (H) : f′′(x) - 3f′(x) + 2f(x) = 0, x ∈ ℝ.

1. Montrer que pour tout (k,m) ∈ ℝ², g : 
   { ℝ → ℝ
   { x → ke + me^2x
   est solution de (H).
2. Montrer que j :
   { ℝ → ℝ
   { x → xe^x
   est solution de (E).
3. Montrer que g + j est solution de (E).

Exercice 3

Soit (E) : 3f(x) - 4xf′(x) = -15x² + 3, x ∈ ℝ.
Déterminer (a,b,c) ∈ ℝ³ pour que g :
{ ℝ → ℝ
{ x → ax² + bx + c
soit solution de (E).

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