Equations différentielles : introduction de la fonction exponentielle

Dans ce cours, Sophie, la prof de maths, propose une introduction de la fonction exponentielle, une fonction particulière car elle est définit comme la solution d'une équation différentielle.

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Rappel sur le nombre dérivé

Quand on a une fonction f, on peut la représenter par une courbe. En tout point de cette courbe, on peut tracer une tangente à la courbe. Au point A, la droite est la meilleure approximation affine de la courbe.

Le nombre dérivé est le coefficient directeur (ou pente) de la tangente au point d’abscisse a  :  f′(a)

Fonctions solutions d’une équation différentielle

Existe-t-il des fonctions f définies et dérivables sur ℝ telles que, pour tout réel a, f’(a) = a ?

→ Pour tout réel a le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a est a.

Existe-t-il des fonctions f définies et dérivables sur ℝ telles que, pour tout réel a, f’(a) = f(a) ?

→ Pour tout réel a le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a est f(a).

La fonction exponentielle

Théorème et définition : (admis)

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur ℝ  vérifiant f′(a) = f(a) pour tout réel a et f(0) = 1.

Cette fonction est nommée fonction exponentielle. On la note exp.

exp(0) = 1 et exp′(a) = exp(a) pour tout réel a.

Propriété 1

La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.

Pour tout réel x, exp⁡(x)>0.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Propriété 2

Pour tous réels x et y, pour tout entier relatif n, on a:

exp⁡(-x)= 1/exp⁡(x)

exp⁡(x+y) = exp⁡(x) × exp⁡(y)

exp⁡(x - y) = exp⁡(x)/exp⁡(y)

exp⁡(nx) = (exp⁡(x))ⁿ