Abel et Galois, les équations algébriques

Dans ce nouvel épisode de La grande aventure des maths, découvre l'histoire deux jeunes génies des mathématiques : Niels Henrik Abel et Évariste Galois. 

Évariste Galois, l'enfant terrible des mathématiques 

Évariste Galois (1811-1832) était un mathématicien français du XIX^e siècle. À l'âge de 16 ans, il écrivait déjà des articles et ses travaux en algèbre étaient exceptionnels. En mai 1831, lors d'un banquet républicain, Galois porte un toast au roi Louis-Philippe, mais en tenant un couteau à la main. Pour ce geste, interprété comme un appel au meurtre, il fait 10 mois de prison, à l'âge de 19 ans. Même en prison, il continue à faire des maths, car Galois a un objectif : être reconnu par les grandes figures de l'Académie des Sciences de Paris, comme Adrien-Marie Legendre, Sophie Germain, Siméon Denis Poisson, Joseph Fourier, Augustin Louis Cauchy ou encore Joseph-Louis Lagrange. Pour ce faire, Galois envoie un mémoire, mais ses idées sont si novatrices, qu'il reçoit un refus de l'Académie des Sciences de Paris. Peu de temps après sa sortie de prison, Galois meurt après un duel. Ses travaux ne seront reconnus qu'après sa mort. 

Niels Henrik Abel : la résolution des équations algébriques

En 1826, l'Académie des Sciences avait déjà rejeté les travaux d'un autre prodige, le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel (1802–1829). Né quelques années avant Galois, il travaille sur la même question que lui, sur la résolution des équations algébriques. 

⇒ Exemple : prenons une équation polynomiale de degré n.

La question est : existe-t-il une formule qui relie les coefficients entre eux, en utilisant les opérations habituelles de l'algèbre (addition, multiplication, racine...) et qui donnerait les solutions de l'équation ? La réponse est oui. 

1. Il faut calculer le discriminant de Delta. 
2. Si Delta ≥ est supérieur ou égal à 0, on a des solutions. 
3. Ces solutions sont des combinaisons des coefficients (avec des multiplications, des divisions et des racines). 

Cette formule donne les solutions de l'équation dans R. Mais qu'en est-il pour les équations de degré 3, 4 ou au-dessus ?

La réponse est connue depuis le XVI^e siècle grâce aux travaux de mathématiciens italiens comme Niccolo Tartaglia, Lodovico Ferrari, Jerôme Cardan ou Scipione Del Ferro, qui donnent des réponses : une formule générale pour les équations de degré 3 et 4.

► Mais comment faire pour les équations de degré 5 ?

Abel et Galois : les équations de degré 5

En 1823, à seulement 23 ans, Niels Henrik Abel répond à la question. Il démontre qu'il n'y a pas de formule générale pour les équations de degré 5 et plus. En mathématiques, démontrer que quelque chose n'existe pas est très puissant. Cela permet aux mathématiciens de ne plus chercher. Au même moment, Évariste Galois démontre lui aussi l'impossibilité d'une formule générale, mais dans sa théorie, il offre en plus une explication sur les solutions des équations. Son concept révolutionnera l'algèbre. 

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