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L'Antiquité et l'invention des maths
Même si les motivations qui ont amené les sociétés humaines à développer les mathématiques divisent encore les historiens (le commerce, la philosophie), une chose est certaine : l'invention des mathématiques est indissociable du processus de développement de l'écriture. C'est pourquoi les Babyloniens, puis les Egyptiens, apparaissent comme les premiers utilisateurs de mathématiques.
- Vers 18 000 avant J.-C. : Apparition des premières formes de mathématiques.
Les systèmes sont très rudimentaires et ne font que prouver que les hommes utilisent des aides à la numération. Ces premiers marqueurs démontrent le besoin d’une abstraction progressive qui va conduire à la naissance de la discipline. - 1640 avant J.-C. : Le scribe égyptien Ahmes recopie le Papyrus Rhind.
C’est le plus ancien document de mathématiques connu. Il se compose de problèmes résolus dans deux différentes branches de la discipline : l’arithmétique et la géométrie. Nous y trouvons la première approche de la constante π = 3,160. - Vers 590 avant J.-C. : Thalès de Milet fonde la discipline « géométrie ».
De geo et metron, qui signifie la mesure de la Terre. Il décrit les principales caractéristiques du triangle, notamment que tout angle inscrit dans un demi-cercle est toujours un angle droit. - Vers 540 avant J.-C. : Pythagore de Samos et les Pythagoriciens.
Les mathématiques sont alors considérées comme l’expression d’un idéal de pensée. Des travaux mettant en relation les formes et les nombres font développer les connaissances en géométrie et amener de nouvelles découvertes, comme le célèbre théorème de Pythagore, la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180° ou encore les nombres irrationnels avec √2. - Vers 300 avant J.-C. : Euclide écrit Les Eléments.
Premier traité de mathématiques qui décrit en 13 volumes la somme des connaissances de l’Antiquité en mathématiques. Il pose la méthode du théorème énoncé puis démontré. Il sera en Occident la référence jusqu'au XVIe siècle. C’est, après La Bible, le livre qui connu le plus grand nombre d’éditions (plus de 1000).
Le Moyen Âge et la contribution arabe
Longtemps réduite par les historiens à l'expression d'une menace pour l'Occident médiéval, la civilisation arabo-musulmane qui s'épanouit entre le VIIe et le XVe siècle du Moyen-Orient à l'Espagne, est aujourd'hui reconnue dans l'histoire des idées par les échanges qu'elle a permis et ses nombreux apports scientifiques. Le premier rôle est donc un rôle de transmission des savoirs, car ils vont permettre de garder la trace des avancées de l'Antiquité, mais aussi ils vont favoriser les échanges entre l'Occident et l'Orient. Les Arabes vont ainsi, notamment, introduire les fameux chiffres arabes à partir de l'Inde vers l'Occident. Ils ont aussi contribué grandement à l'histoire des mathématiques à travers de brillants mathématiciens.
- 628 après J.-C. : Brahmagupta définit le 0 dans le Brahma Sphuta Siddhanta (« La révision du système idéal »).
Brahmagupta, mathématicien indien (598-660), définit dans ce traité d’astronomie le zéro comme la soustraction d’un nombre par lui-même (a - a = 0). Il définit également qu’un nombre multiplié par zéro est égal à zéro. - 825 après J.-C. : Al-Khwarizmi écrit Al-jabr wa’l-muqâbalah.
Ce livre dont le titre signifie « La transposition et la réduction », constitue le premier traité d’algèbre. Les Occidentaux tireront d’ailleurs le mot algèbre d’Al-jabr. Le livre de ce mathématicien persan à l’origine du mot « algorithme » constitue une somme d’informations considérables sur l’étude des sinus et surtout sur la résolution d’équation de premier et de second degré. Il faut noter que cet ouvrage ne comprend aucun chiffre, tout est écrit littéralement ! - Xe siècle : Abu al-Wafa al-Buzadjani, mathématicien perse, établit un nouveau concept en trigonométrie avec la tangente et aussi la sécante.
- 1202 : Fibonacci publie le Liber abaci (« Le livre de calcul »).
Fibonacci (1175-1240) était un commerçant et un grand voyageur italien, originaire de Pise. Il va écumer la mer Méditerranée, et ses contacts avec les Arabes notamment, vont l’amener à utiliser leurs connaissances en mathématiques. Dans ce traité, il utilise pour la première fois les chiffres indo-arabes. Il réalise également dans cet ouvrage un exercice de calcul, appelé la suite de Fibonacci, où il comptabilise l’évolution de couples de lapins sur une année. De ces travaux, il établit une relation entre cette progression et le nombre d’or. Par ce traité, il entame le processus du renouveau scientifique européen qui va s’épanouir durant la Renaissance. - 1424 : Al-Kashi approche π dans Risala a-muhitiyya (« Le traité du cercle »).
Ce mathématicien persan parvient à calculer le rapport de la circonférence à son rayon, c'est-à-dire 2 × π. Ces connaissances sur le langage décimal lui permette de définir la meilleure approximation alors jamais atteinte : 2 × π = 6,2831853071795865... Pendant deux siècles, personne ne parviendra à une telle approximation.
Le tournant rationaliste du XVIIe siècle
Après les progrès de la Renaissance dans le domaine du calcul intégral, l'Occident va se découvrir un intérêt extraordinaire pour les mathématiques au XVIIe siècle. Un mouvement formidable de découvertes et de créations va se structurer autour de grands mathématiciens de génie. Les mathématiques modernes résultent, dans leurs méthodes et dans leurs notations, en grande partie des avancées de cette époque.
- 1637 : René Descartes écrit La Géométrie et Le Discours de la méthode.
Le premier ouvrage va poser les bases de la géométrie analytique. Il « invente » également le repère en plan où l’on peut noter les coordonnées en abscisses et en ordonnées. Le second ouvrage s’attache davantage à la philosophie, mais aura une influence considérable sur les méthodes scientifiques ; en effet, les démarches adoptées vont devenir avant tout déductives.
René Descartes (1596-1650) s'impose tout d'abord par sa méthode qui prône un raisonnement fondamentalement hypothético-déductif. Ses travaux ensuite ouvrent la voie à la géométrie projective et à la géométrie analytique. On lui doit également de nombreuses notations d'algèbre encore employées aujourd'hui : x,y,z pour des inconnues, les exposants pour les puissances sous la forme xn ou encore les paramètres a,b,c. - Pierre Simon de Fermat (1601-1665) est un mathématicien français comme Descartes. Il est connu surtout par sa fameuse conjecture qui va passionner 350 années de recherches en mathématiques. Parmi ses nombreuses contributions, citons l'introduction de la démonstration par l'absurde, du calcul de probabilités, des combinatoires, des calculs des dérivés et surtout ses nombreux travaux sur la théorie des nombres.
1642 : Blaise Pascal construit « la Pascaline », première machine à calculer mécanique.
Cet objet, que l’on peut toujours voir à Clermont-Ferrand, a été offert par le jeune Pascal à la reine Christine de Suède. Cet outil, encore rudimentaire, souligne tout le génie aussi bien théorique que pratique de Pascal qui fera, au cours des années suivantes, avancer la discipline.
Blaise Pascal (1623-1662), mathématicien, physicien ou encore philosophe apparaît comme l'un des plus grands génies de l'histoire de France. À 12 ans, il parvenait déjà à démontrer les théorèmes de la géométrie classique. Avant ses 19 ans, il avait rédigé un traité sur les coniques et mis au point une machine à calculer ! Il ouvrira la voie aux calculs infinitésimaux, à l'intégration, aux calculs de probabilités et à l'analyse combinatoire.1684 : Gottfried Leibniz édite dans les Acta eruditorum de Leipzig sa Nova methodus pro minimis et maximis (« Nouvelle méthode pour les infinitésimaux »).
Dans cet article, il annonce qu’il est parvenu à percer le secret du calcul infinitésimal, le plus grand enjeu du XVIIe siècle, à l’aide du calcul différentiel, c'est-à-dire par l’usage des dérivées. Cette annonce sera à l’origine d’une des plus grande polémique scientifique de l’histoire, car Newton affirmera en effet être le premier à avoir trouvé la méthode de calcul des infinitésimaux. Newton avait, certes, entamé ses recherches depuis 1666, mais il n’a publié ses résultats qu’en 1693. Si l’on ajoute à cela que les deux hommes ont correspondu ensemble entre 1670 et 1680, il apparaît bien difficile de dire lequel de ces deux grands mathématiciens peut s’accorder la paternité de cette découverte.
L'Allemand Gottfried Leibniz (1646-1716) va, avec l'Anglais Isaac Newton (1642-1727), apporter de façon complémentaire la réponse au grand défi du siècle qu'était le calcul infinitésimal, à travers le calcul différentiel et intégral que Newton appellera la méthode des fluxions. Nous devons également à Leibniz les notations de type f(x) ainsi que le symbole « ∫ » pour les intégrales.1748 : Euler rédige Introductio in Analysin infinitorum.
Le célèbre mathématicien suisse effectue une synthèse des connaissances mathématiques de son temps. En plus de travaux sur la fonction exponentielle et le nombre e, Euler va fixer définitivement la notation π d’après la lettre grecque et il notera i la racine carrée de -1.
Epoque contemporaine
- 1863 : Dedekind et Die Vorlesungen über Zahlentheorie (« Conférences sur la théorie des nombres »).
Le mathématicien énonce sa théorie des nombres, notamment sur les nombres réels, sur les nombres rationnels et sur les nombres irrationnels. Il ouvre la voie aux notations modernes des ensembles de nombres. Alors que l’affrontement idéologique entre nations caractérise la fin du XIXe et le début du XXe, Dedekind montrera une très grande ouverture d’esprit relativement aux travaux d’autres mathématiciens contemporains (Gallois, Cantor, Peano). - 1994 : Andrew Wiles démontre la conjecture de Fermat.
L’un des plus grands mystères de l’histoire des mathématiques est résolu, après plus de trois siècles de recherches. Même s’il apparaît que Fermat ne pouvait pas démontrer sa conjecture par manque de connaissance dans la théorie des nombres notamment, Wiles est parvenu à confirmer l’affirmation de Fermat. Cet évènement prouve à quel point la discipline est en mouvement, c'est-à-dire inscrite au cœur de l’histoire des hommes.
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