Descartes et la géométrie analytique

Quel est le point commun entre un fleuret d’escrime, une parabole et des yeux de bœuf ? Tous ont été étudiés par René Descartes. Explications avec Eliott et sa mère dans ce nouvel épisode de La grande aventure des maths. 

Qui était René Descartes ? 

René Descartes a révolutionné les mathématiques, en créant un pont entre la géométrie et l’algèbre. En dépit de sa renommée philosophique, Descartes était avant tout un homme de sciences, particulièrement investi en physique, en optique et en anatomie. En 1637, il publie Le Discours et présente trois essais scientifiques : 

• sur l’optique, 
• sur les phénomènes naturels,
• sur la géométrie.  

La loi interne, c’est quoi ? 

En géométrie, Descartes cherche une méthode qui peut résoudre tous les problèmes. Pour ça, ils cherchent un système où on utiliserait les règles simples de l’altimétrique (addition, multiplication, division, soustractions.) sur les objets les plus simples de la géométrie, comme les segments. C’est la loi interne.  

⇒ Exemple : si tu fais des opérations sur des sujets d’une même nature, ton résultat sera un objet de la même nature. En arithmétique, des opérations sur des nombres donnent des nombres.

Descartes voulait la même chose pour la géométrie :  

• En partant d’un segment, on obtient un segment. (Un segment multiplié à un segment donne une aire et non un segment.). 

Pour la multiplication, moins intuitive que les additions et la soustraction, Descartes développe un œil nouveau, en apportant le segment unité. Aujourd’hui, cette idée est restée, car quand un lycéen dessine un repère, il précise l’unité sur les axes. Par ailleurs, l’expression « repère cartésien » vient de son nom. Descartes propose aussi de nommer les segments avec les lettres du début de l'alphabet (a, b..), pour les lettres inconnues, il décide de les nommer avec les lettres de la fin de l’alphabet (x, y, z). Cette règle est aujourd'hui devenue la norme en algèbre et en géométrie analytique.

L’étude des courbes selon Descartes 

Si l’on prend, l’exemple d’une parabole. Pour l’étudier, Descartes dessine un axe, à l’endroit qui l’arrange le mieux. Ici, c’est l’axe de symétrie. 

• Pour chaque point M de la courbe, on peut associer un x et un y.
• L’étude de la courbe, c’est l’étude de l’équation qui lie x et y pour tous ses points.
• Cette équation est comme sa carte d’identité : toutes les informations à son sujet sont contenues dedans. Mais surtout, n’importe quelle courbe géométrique peut être mise en relation avec une équation algébrique.
• Résultat : l’algèbre qui est tellement efficace, peut servir à résoudre des problèmes de géométrie. 

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