Par définition, une suite convergente admet un réel ℓ tel que cette suite converge vers ℓ. Si ce n'est pas le cas, la suite est divergente.
En effet, une suite convergente n'admet qu'une seule et unique limite. On notera alors lim n→+∞ (Un) = ℓ.
La somme de deux limites tendant vers +∞ tend elle-même vers +∞. De la même façon, la somme de deux limites tendant vers -∞ tend vers -∞.
Le produit de deux limites tendant vers +∞ tend elle-même vers +∞. De la même façon, le produit de deux limites tendant vers -∞ tend vers -∞.
En effet, on ne peut pas se prononcer directement sur la limite du quotient de deux suites tendant vers l'infini (+ ou -), c'est ce qu'on appelle une forme indéterminée. Il faudra alors transformer l'écriture de l'équation pour parvenir à trouver sa limite.
La limite du produit d'une suite qui tend vers un réel ℓ et d'une suite qui tend vers un réel ℓ' est égale au produit ℓ × ℓ'. Pour les autres propositions, il n'est pas possible de trancher directement.
C'est ce qu'on appelle une suite géométrique, ici de raison r = 0,5. Dans ce cas, on a -1 < r < 1, la suite converge donc vers 0.
Ce n'est pas forcément le cas ! Si on prend par exemple la suite Un = (-1)n, elle est minorée par -1 (ne descendra jamais sous -1) et majorée par 1 (n'ira jamais au-dessus de 1), et pourtant n'est pas convergente.
On sait que la suite (Un) est géométrique de raison 1/4 et de premier terme u0 = 10 donc pour tout entier naturel n, un= 10 × (1/4)n. Or, 1/4 < 1, on peut donc dire que lim (1/4)n = 0. Par produit par 10, on peut donc montrer que lim 10 × (1/4)n = 0.
On sait que lim (n→+∞) n = +∞. Le même constat peut être fait pour n2 et pour 2n -10. Ainsi, par somme, on obtient bien que lim (n→+∞) n2 + 2n - 10 = +∞, et donc que lim un = +∞.
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Les limites de suites
L'étude des suites est très importante dans certains domaines, notamment en épidémiologie, pour tenter de déterminer le nombre maximal de personnes pouvant être contaminées par un virus, par exemple. Si certaines suites ont une limite finie, c'est-à-dire qu'elles tendent vers un nombre réel fixe, d'autres en revanche n'ont pas de limite finie et pourront par exemple tendre vers l'infini. Avec ce quiz, révisez un peu plus l'étude des limites de suite.