Les limites de suites

Dans ce cours, la professeure de maths Sophie propose d'étudier le comportement asymptotique des suites numériques.

Retrouvez le support de cours en PDF et son cours sur le comportement global des suites numériques..

Limite infinie     

► lim u_n = +∞

La suite (u_n) tend vers +∞ si pour tout nombre réel positif A, il existe un entier N tel que pour tout entier n ≥ N, u_n ≥ A.

Limite des suites usuelles    

• u_n = n
• u_n = n²
• u_n = n³
• u_n = √n
• u_n = n^k avec k ∈ N*
• u_n = qⁿ avec q > 1

► lim u_n = -∞

La suite (u_n) tend vers -∞ si pour tout nombre réel négatif B, il existe un entier N tel que pour tout entier n ≥ N, u_n ≤ B.

Limite finie 

► lim u_n = l  

La suite (un) tend vers le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

► lim u_n = 0

Limite des suites usuelles 

• u_n = 1 / n
• u_n = 1 / n2
• u_n = 1 / √n
• u_n = 1 / n^k avec k ∈ N* 
• u_n = qⁿ avec -1 < q < 1

Opérations sur les limites

Comportement d’une suite à l’infini

Les suites géométriques

• si q > 1, la suite diverge vers ++∞ ou  -∞ selon le signe de u₀.
• si q = 1, la suite est constante. Elle converge vers u₀.
• si -1 < q < 1, la suite converge vers 0.
• si q ≤ -1, la suite diverge.

Les suites monotones

Si  une suite est croissante et n’est pas majorée, alors elle a pour limite +∞.

Si  une suite est décroissante et n’est pas minorée, alors elle a pour limite -∞.

Si une suite  est croissante et majorée, alors elle est convergente.

Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.