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Spécialités29:06

Les limites de suites (9 juin)

Les cours Lumni - Lycée

Dans ce cours, la professeure de maths Sophie propose d'étudier le comportement asymptotique des suites numériques.

Retrouvez le support de cours en PDF et son cours sur le comportement global des suites numériques..

Limite infinie     

► lim un = +∞

La suite (un) tend vers +∞ si pour tout nombre réel positif A, il existe un entier N tel que pour tout entier n ≥ N, un ≥ A.

Limite des suites usuelles    

  • un = n
  • un = n2
  • un = n3
  • un = √n
  • un = nk avec k ∈ N*
  • un = qn avec q > 1

► lim un = -∞

La suite (un) tend vers -∞ si pour tout nombre réel négatif B, il existe un entier N tel que pour tout entier n ≥ N, un ≤ B.

Limite finie 

► lim un = l  

La suite (un) tend vers le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

► lim u= 0

Limite des suites usuelles 

  • un = 1 / n
  • un = 1 / n2
  • un = 1 / √n
  • un = 1 / nk avec k ∈ N* 
  • un = qn avec -1 < q < 1

Opérations sur les limites

Somme

Si (un) a pour limite

l

l

l

+ ∞

- ∞

+ ∞

Et si (vn) a pour limite

l′

+ ∞

- ∞

+∞

- ∞

- ∞

Alors (un + vn ) a pour limite

l + l′

+∞

- ∞

+ ∞

- ∞

  ?

 

 

Produit

Si (un) a pour limite

l

l ≠ 0

0

± ∞

Et si (vn) a pour limite

l′

± ∞

± ∞

±∞

Alors (un x vn ) a pour limite

l × l′

± ∞

?

± ∞

 

 

Quotient

Si (un) a pour limite

l

l

± ∞

± ∞

l ou ±∞0

Et si (vn) a pour limite

l′ ≠ 0

± ∞

l′ ≠ 0

±∞

0 et de signe constant0

Alors (un / vn ) a pour limite

l / l′

0

±∞

?

±∞?

 

Comportement d’une suite à l’infini

Les suites géométriques

  • si q > 1, la suite diverge vers ++∞ ou  -∞ selon le signe de u0.
  • si q = 1, la suite est constante. Elle converge vers u0.
  • si -1 < q < 1, la suite converge vers 0.
  • si q ≤ -1, la suite diverge.

Les suites monotones

Si  une suite est croissante et n’est pas majorée, alors elle a pour limite +∞.

Si  une suite est décroissante et n’est pas minorée, alors elle a pour limite -∞.

Si une suite  est croissante et majorée, alors elle est convergente.

Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Réalisateur : Didier Fraisse

Producteur : france tv studio

Année de copyright : 2020

Année de production : 2020

Année de diffusion : 2020

Publié le 09/06/20

Modifié le 06/07/20

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