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Mathématiques complémentaires05:02Publié le 28/12/2022

Théorème des gendarmes et théorème de comparaison - exercice

Exercices Maths Terminale

Quelles sont les limites d'une fonction ? Pour répondre à cette question, tu dois faire appel au théorème des gendarmes et au théorème de comparaison.

Etudier la limite d'une suite

  1. Pour tout n∈ ℕ, 2/n + 4 < un < 3/n + 4. Déterminer lim(x→+∞)un.
  2. Pour tout n ∈  ℕ, un > 2n - 6. Déterminer lim(x→+∞)un.
  3. Pour tout n ∈  ℕ, 3n2 - 5n + 3 < un. Déterminer lim(x→+∞)un.
  4. Pour tout n ∈  ℕ, (4n - 1) / (2n + 3) < un < (6n - 7) / (3n + 5). Déterminer lim(x→+∞)un.

Rappel de cours

Besoin d’un récapitulatif sur les limites ? Regarde la vidéo sur les limites.

Théorème des gendarmes

Soient I un intervalle de ℝ et a une borne de I (a est réel ou infini).
Si f, g, et h sont trois fonctions définies sur I telles que, pour tout x ∈ I :  f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
Si de plus lim(x→ a) f(x) = lim(x→ a) h(x) = I  avec l ∈ ℝ , alors : lim(x→ a) g(x) = I

Le calcul d'une limite se fait très régulièrement par l'intermédiaire d'inégalités. Il est important d'avoir quelques inégalités en tête lors d'un exercice sur les fonctions.

En voici quelques-unes des plus utiles dans le cadre du théorème des gendarmes :

Pour tout x ∈ ℝ, ex ≥ x+1. Pour tout x ∈ ℝ, sin(x) ≤  1 et cos(x) ≤ 1. Pour tout x > 0, ln(x) ≤ x-1.

Réalisateur : Les Bons Profs

Producteur : Les Bons Profs

Année de copyright : 2022

Publié le 28/12/22

Modifié le 15/01/24

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