Les vecteurs de l'espace

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Si une droite et un plan sont sécants, cette droite et ce plan n’ont qu’un seul point d’intersection.

Vrai
Faux

Bonne réponse !

Dans cette situation, la droite ne peut couper le plan qu’en un seul point. Pour bien se représenter cela, on peut imaginer une aiguille (la droite) traversant une feuille de papier (le plan) : elle ne coupe bien qu’en un seul point, le trou.

Lequel de ces termes détermine la « taille » d’un vecteur →AB ?

la norme
la direction
le sens

Mauvaise réponse !

La norme représente bien la distance séparant le point A du point B. La direction du vecteur précise « l’inclinaison » (vers le haut, le bas, en diagonale…), tandis que le sens permet de distinguer « de A vers B » ou « de B vers A ». Ces trois termes sont nécessaires pour caractériser un vecteur.

Que forme l’intersection de deux plans sécants ?

un plan
une droite
un point

Mauvaise réponse !

L’intersection de deux plans sécants ne peut former qu’une droite. Pour obtenir un plan, il faudrait deux plans confondus. De plus, l’intersection de deux plans strictement parallèles (c’est-à-dire parallèles et non-confondus) n’existe pas, ces deux plans ne pouvant pas se rencontrer.

On dit parfois d’un plan qu’il est le plan médiateur d’un segment. Que cela veut-il dire ?

C’est un plan passant par l’extrémité du segment et parallèle à ce segment.
C’est un plan passant par le milieu du segment et orthogonal à ce segment.
C’est un plan ne passant pas par le segment.

Mauvaise réponse !

Une médiatrice est une droite perpendiculaire à un segment, en son milieu. Pour un plan médiateur, c’est la même chose, il passe par le milieu du segment et il est perpendiculaire à celui-ci (dans l’espace on préfèrera le terme « orthogonal »).

Pour prouver que des points A, B et C sont alignés à l’aide de vecteurs, que suffit-il de montrer ?

Les points A, B et C sont équidistants.
AB = AC
Les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Mauvaise réponse !

Il suffit bien de montrer que AB et AC sont colinéaires. Cela signifiera alors que le point B est situé sur une droite AC, et que les trois points sont donc alignés.

A ton avis, si on a deux vecteurs →u et →v, on peut dire qu’ils sont colinéaires si... ?

u = k + v, avec k un nombre réel
u = kv, avec k un nombre réel
u = k - v, avec k un nombre réel

Mauvaise réponse !

Soit k un nombre réel, on pourra dire que →u et →v sont colinéaires uniquement si u = kv et donc que v = ku. Pour l’exprimer de manière littérale, deux vecteurs sont colinéaires si l’un est multiple de l’autre.

En géométrie, une droite possède…

une infinité de représentations paramétriques
une seule représentation paramétrique
trois représentations paramétriques

Mauvaise réponse !

En effet, une droite peut admettre une infinité de représentations paramétriques, selon l’endroit où on se place pour la définir, et le vecteur directeur utilisé.

Dans l’espace, il existe des vecteurs qui ne s’écrivent pas comme la combinaison linéaire de deux autres vecteurs.

Vrai
Faux

Bonne réponse !

Contrairement au plan, où n’importe quel vecteur peut s’écrire comme une unique combinaison linéaire de deux vecteurs non-colinéaires, il n’est pas possible de vérifier cela dans l’espace.

Un point Z appartient à une droite AB si et seulement si :

On se place dans l’espace.
Ses coordonnées vérifient l’équation de la droite.
On peut montrer que AZ = BZ.

Mauvaise réponse !

Pour cela, il faut montrer que le triplet de coordonnées vérifie son équation de droite. Pour cela, on peut utiliser soit l’équation cartésienne, de forme ax + by = c, ou sa représentation paramétrique. Cette relation fonctionne à la fois dans un plan et dans l’espace.

Soit une droite ayant pour équation cartésienne 4x - 2y + 4 = 0, le point Z appartient à la droite si ses coordonnées sont...

Z (2 ; 4)
Z (4 ; 0)
Z (0 ; 2)

Mauvaise réponse !

Pour vérifier l’appartenance de ce point à la droite il faut démontrer que ses coordonnées vérifient l’équation de la droite : 4x - 2y + 4 = 0, donc en remplaçant x et y par les coordonnées du point Z. On a alors 4 x 0 - 2 x 2 + 4 = 0. Cette équation est valide, le point appartient donc à la droite.

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