La fonction logarithme népérien - fiche de révisions

On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation ex = a. On la note ln a.


Publié le 03/01/2025 • Modifié le 03/01/2025

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Écrit par ines.maths

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Sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est :

  • définie
  • continue
  • strictement croissante

Courbe et variations

Pour tout x > 0.

Image contenu

Tableau de variations

Image contenu

 

Par stricte croissance de la fonction ln :

  • ln(a) = ln(b) donc a = b
  • ln(a) < ln(b) donc a < b
  • ln(a) ln(b) donc a b

Dérivation

(ln x)’ = 1/x

[ln(u(x))] = u’(x)/u(x)

Propriétés algébriques

  • ln(1) = 0
  • ln(e) = 1
  • ln(a x b) = ln(a) + ln(b)
  • ln(1/a) = ln(a)
  • ln(a/b) = ln(a) ln(b)
  • ln(an) = nln(a)
  • ln(a) = (1/2)ln(a)

Limites et croissances comparées

n > 0

  • lim(x→0+)ln(x) = -∞
  • lim(x→+∞)ln(x) = +∞
  • lim(x→0+)xnln(x) = 0
  • lim(x→+∞)ln(x)/xn = 0

 


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