Sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est :
- définie
- continue
- strictement croissante
Courbe et variations
Pour tout x > 0.
Tableau de variations
Par stricte croissance de la fonction ln :
- ln(a) = ln(b) donc a = b
- ln(a) < ln(b) donc a < b
- ln(a) ≤ ln(b) donc a ≤ b
Dérivation
(ln x)’ = 1/x
[ln(u(x))] = u’(x)/u(x)
Propriétés algébriques
- ln(1) = 0
- ln(e) = 1
- ln(a x b) = ln(a) + ln(b)
- ln(1/a) = –ln(a)
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
- ln(an) = nln(a)
- ln(√a) = (1/2)ln(a)
Limites et croissances comparées
n > 0
- lim(x→0+)ln(x) = -∞
- lim(x→+∞)ln(x) = +∞
- lim(x→0+)xnln(x) = 0
- lim(x→+∞)ln(x)/xn = 0