Maths : les ensembles de nombres

Il existe une infinité de nombres de natures très variées. Comment ont-ils été « rangés » selon leurs propriétés ?


Publié le 12/04/2013 • Modifié le 17/07/2024

Temps de lecture : 2 min.

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Au fil de l'histoire, les mathématiciens ont progressivement pris conscience qu'il existait une infinité de nombres, de natures très variées. Ils se sont aperçus qu'il était possible de « ranger » en grandes familles les nombres ayant des propriétés identiques.

Les ensembles de nombres et leurs notations

Cette typologie fut l'œuvre de trois mathématiciens de la deuxième moitié du XIXe siècle et du début du XXe siècle : l'Allemand Richard Dedekind (1831-1916), le Russe Georg Cantor (1845-1918) et l'Italien Giuseppe Peano (1858-1932).

  • L'ensemble vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro.
  • L'ensemble vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5). ℕ est inclus dans ℤ.
  • L'ensemble a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...). ℤ est inclus dans ℚ.
  • L'ensemble, défini par Dedekind, pour real, recouvre les nombres réels. Cela comprend les nombres dits algébriques, c'est-à-dire ceux qui peuvent s'exprimer par une égalité simple (les fractionnaires périodiques, comme les nombres irrationnels) et les nombres dits transcendants (ceux qui ne peuvent s'exprimer par une égalité simple). Exemples de nombres réels : -1/3, 0, π, e, √2. ℚ est inclus dans ℝ.

Propriété (admise)

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Il existe d'autres ensembles :

  • pour les nombres complexes
  • pour les hypercomplexes
  • 𝕆 pour les octonions
  • p pour le nombre p-adiques

Leur utilisation est requise pour les applications plus poussées en dynamique des fluides, en physique nucléaire ou pour les géométries non-euclidiennes.

L’infini dénombrable des nombres

Combien de nombres contient l'ensemble des nombres ? 1, 2, 3... ne les comptez pas, il y en a une infinité ! Est-on bien sûr que zéro est la limite des petits nombres ? Vérifions. Qu'est-ce qui est plus petit que 1 ? 1/2. Plus petit que 1/2 ? 1/10. Que 1/10 ? 1/100, 1/1 million... et à la limite, on arrivera à moins que le plus petit de tous les nombres. Rien. 0. Rien multiplié par n'importe quoi fait toujours rien. Vraiment ? Et zéro x l'infini ?? Bien malin qui pourrait donner le résultat. C'est une quantité indéfinie en mathématiques.

Le plus petit intervalle contient autant que l’ensemble tout entier !

Opération de pensée : on prend un intervalle qui contient, par exemple, le nombre 0,123456789… et on rapproche les bords de cet intervalle autant qu’on veut. Tant que les bords ne se touchent pas, cet intervalle contient des nombres. On peut rendre cet intervalle aussi petit que l’on veut, il contiendra autant de nombres que l’ensemble de tous les nombres, soit χ1. Les mathématiciens parviennent à trouver plusieurs relations biunivoques entre ces deux ensembles.

Les très grands nombres

Pour noter les très grands nombres, l’exponentielle est bien pratique : 23 = 2 x 2 x 2 (2 multiplié 3 fois), ou 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 (100 000, soit « 1 » suivi de 5 zéros).

Le gogol, de Edward Kasner est un 1 suivi de 100 zéros, soit 10100 ! Un nombre plus grand que le nombre de particules dans l’Univers : 1080. Connaissez-vous le gogolplex ? Un 1 suivi de … gogol zéros : 10gogol !

Une notation efficace pour les très, très grands nombres : la notation de Knuth « ↑ »

  • 2 ↑ 3 = 23 = 8 (le « 2 » apparaît 3 fois séparé par la multiplication)
  • 2 ↑ ↑ 3 = 2 ↑ (2 ↑ 2) = 2 ↑ 4 = 16 (le 2 apparaît 3 fois séparé par une simple flèche)
  • 2 ↑ ↑ ↑ 3 = 2 ↑ ↑ (2 ↑ ↑ 2) = 2 ↑↑ 4= 65 536 (le 2 apparaît 3 fois séparé par une double flèche flèche)
  • 3 ↑ ↑ 4 = 3 ↑ 3 ↑ (3 ↑ 3) = 3 ↑ 3 ↑ 27 = 37 625 597 484 987
  • 3 ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ (3 ↑ ↑ 3) = = 3 ↑↑ 7 625 597 484 987 (soit 7 625 597 484 987 le nombre 3)

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