Maths : les ensembles de nombres

Au fil de l'histoire, les mathématiciens ont progressivement pris conscience qu'il existait une infinité de nombres, de natures très variées. Ils se sont aperçus qu'il était possible de « ranger » en grandes familles les nombres ayant des propriétés identiques.

Les ensembles de nombres et leurs notations

Cette typologie fut l'œuvre de trois mathématiciens de la deuxième moitié du XIX^e siècle et du début du XX^e siècle : l'Allemand Richard Dedekind (1831-1916), le Russe Georg Cantor (1845-1918) et l'Italien Giuseppe Peano (1858-1932).

• L'ensemble ℕ vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro.
• L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5). ℕ est inclus dans ℤ.
• L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...). ℤ est inclus dans ℚ.
• L'ensembleℝ, défini par Dedekind, pour real, recouvre les nombres réels. Cela comprend les nombres dits algébriques, c'est-à-dire ceux qui peuvent s'exprimer par une égalité simple (les fractionnaires périodiques, comme les nombres irrationnels) et les nombres dits transcendants (ceux qui ne peuvent s'exprimer par une égalité simple). Exemples de nombres réels : -1/3, 0, π, e, √2. ℚ est inclus dans ℝ.

Il existe d'autres ensembles :

• ℂ pour les nombres complexes
• ℍ pour les hypercomplexes
• 𝕆 pour les octonions
• ℚ_p pour le nombre p-adiques

Leur utilisation est requise pour les applications plus poussées en dynamique des fluides, en physique nucléaire ou pour les géométries non-euclidiennes.

L’infini dénombrable des nombres entiers

0, 1, 2.... l’ensemble des nombres entiers contient une infinité de nombres, et cette infinité est notée א0, qui se lit « aleph 0 ». Et les nombres pairs ? 0, 2, 4…. Il y en a aussi une infinité, et, aussi étrange que cela puisse paraître, il y en aussi א0. On dit qu’ils sont dénombrables.

Quand une relation biunivoque existe entre un ensemble et un autre (comme celui des nombres pairs et celui des nombres entiers), alors les deux ensembles contiennent le même nombre d’éléments, quand bien même ce serait une infinité. 

Après א0, l’ensemble continu des nombres, א1, puis א2, א3,…

Entre 0 et 1, on trouvera par exemple le nombre 0,1234567891011… constitué de tous les nombres entiers écrits à la suite après la virgule. C’est un nombre « transcendant », solution d’aucune équation mathématique simple écrite avec des nombres entiers.

Combien l’ensemble continu de tous les nombres, transcendants compris, contient-il de nombres ? Réponse : une infinité aussi mais beaucoup plus importante qu’א0. On la note א1. Et ainsi de suite. On peut définir א0, א1, א2 … les infinis sont ordonnés, du plus petit א0 au plus grand אµ, bien mal défini.

Le plus petit intervalle contient autant que l’ensemble tout entier !

Opération de pensée : on prend un intervalle qui contient, par exemple, le nombre 0,123456789… et on rapproche les bords de cet intervalle autant qu’on veut. Tant que les bords ne se touchent pas, cet intervalle contient des nombres. On peut rendre cet intervalle aussi petit que l’on veut, il contiendra autant de nombre que l’ensemble de tous les nombres, soit א1. Les mathématiciens parviennent à trouver plusieurs relations biunivoques entre ces deux ensembles.