Approximation de racines carrées - exercices

Exercice 1

A la manière d’Héron, calculons une valeur approchée de racine carrée de 7.

1. Déterminer le plus petit nombre entier n₀ dont le carré est supérieur à 7.
2. Calculer la moyenne n₁ de n₀ et 7/n₀. (n₁ = (n₀ + (7/n₀))/2).
3. Calculer n₁ au carré en écrivant, comme Héron, le résultat comme la somme d’un entier et d’une fraction comprise entre 0 et 1.
4. Réitérer le raisonnement avec n₁ comme nombre de départ puis jusqu’à ce que la différence entre 7 et le carré du résultat obtenu par les itérations successives soit inférieur à 10^-9.

Exercice 2

A la manière de Newton, calculons une valeur approchée de racine carrée de 3. Approchons la racine positive de f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² - 5.

1. Encadrer √5 par deux entiers successifs.
2. Déterminer une équation de la tangente T₀ à la courbe représentative de f au point d’abscisse x₀ = 2.
3. Déterminer x₁ l’abscisse du point d’intersection de T₀ et l’axe des abscisse.
4. Calculer x¹₂ - 5.
5. Réitiérer le raisonnement précédent avec x₁ comme nombre de départ. Quelle est l’erreur ( = différence entre le carré du résultat obtenu après l’itération avec x₁ et 5) ?

Exercice 3

A quoi sert l’algorithme ci-dessous ? Déterminer en l’utilisant un encadrement de racine carrée de 17 à 10^-1 près. On pourra commencer par encadrer √17 par deux entiers successifs.

Télécharge la correction en PDF.

(36 Ko)