Maths : les très grands nombres

Combien de nombres contient l'ensemble des nombres ? 1, 2, 3... ne les comptez pas, il y en a une infinité !

Publié le 04/02/2013 • Modifié le 20/08/2025

Temps de lecture : 2 min.

Aimé à 100% par nos utilisateurs

Lis cet article et gagne facilement 10 Lumniz en te connectant !

Il n’y a pas de Lumniz à gagner car tu as déjà vu ce contenu. Ne t’inquiète pas, il y a plein d’autres vidéos, jeux, quiz ou articles intéressants à explorer et toujours plus de Lumniz à remporter.

->   En savoir plus

La notation exponentielle

Pour noter les très grands nombres, l’exponentielle est bien pratique : 23 = 2 x 2 x 2 (2 multiplié 3 fois), ou 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 (100 000, soit « 1 » suivi de 5 zéros).

Les préfixes du Système international d’unités

10n

 Préfixe 

 Symbole 

  Nombre 

   1024

  yotta-

 Y

quadrillion

   1021

  zetta-

 Z

trilliard

   1018

  exa-

 E

trillion

   1015

  péta-

 P

billiard

   1012

  téra-

 T

billion

   109

  giga-

 G

milliard

   106

  méga-

 M

million

   103

  kilo-

 k

mille

   102

  hecto-

 h

cent

   101

  déca-

 da

dix

   100

  unité

 –

un, une

   10-1

  déci-

 d

dixième

   10-2

  centi-

 c

centième

   10-3

  milli-

 m

millième

   10-6

  micro-

 m

millionième

   10-9

  nano-

 n

milliardième

   10-12

  pico-

 p

billionième

   10-15

  femto-

 f

billiardième

   10-18

  atto-

 a

trillionième

   10-21

  zepto-

 z

trilliardième

   10-24

  yocto-

 y

quadrillionième 

Le gogol, de Edward Kasner est un 1 suivi de 100 zéros, soit 10100 ! Un nombre plus grand que le nombre de particules dans l’Univers : 1080. Connaissez-vous le gogolplex ? Un 1 suivi de … gogol zéros : 10gogol !

Une notation efficace pour les très, très grands nombres : la notation de Knuth « ↑ »

  • 2 ↑ 3 = 23 = 8 (le « 2 » apparaît 3 fois séparé par la multiplication)
  • 2 ↑ ↑ 3 = 2 ↑ (2 ↑ 2) = 2 ↑ 4 = 16 (le 2 apparaît 3 fois séparé par une simple flèche)
  • 2 ↑ ↑ ↑ 3 = 2 ↑ ↑ (2 ↑ ↑ 2) = 2 ↑↑ 4= 65 536 (le 2 apparaît 3 fois séparé par une double flèche flèche)
  • 3 ↑ ↑ 4 = 3 ↑ 3 ↑ (3 ↑ 3) = 3 ↑ 3 ↑ 27 = 37 625 597 484 987
  • 3 ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ (3 ↑ ↑ 3) = = 3 ↑↑ 7 625 597 484 987 (soit 7 625 597 484 987 le nombre 3)

Et les petits nombres ?

Est-on bien sûr que zéro est la limite des petits nombres ? Vérifions. Qu'est-ce qui est plus petit que 1 ? 1/2. Plus petit que 1/2 ? 1/10. Que 1/10 ? 1/100, 1/1 million... et à la limite, on arrivera à moins que le plus petit de tous les nombres. Rien. 0. Rien multiplié par n'importe quoi fait toujours rien. Vraiment ? Et zéro x l'infini ?? Bien malin qui pourrait donner le résultat. C'est une quantité indéfinie en mathématiques.

Le concept de l'infini

Si, dès l'époque grecque, les mathématiques ont flirté avec le concept d'infini, il aura fallu attendre la fin du XIXe siècle pour que ce concept devienne réellement opératoire.

Zénon d'Élée (Ve siècle av J.-C), le premier, montra qu'un segment de droite peut être divisé à l'infini. Découverte dérangeante qui ne posait pas tant de problèmes mathématiques qu'ontologiques : dans un cosmos clos, l'infini ne peut exister en acte.

Il fallut donc attendre Leibniz (1646-1716) et ses recherches sur le calcul infinitésimal pour que l'infini se dégage de sa dimensions métaphysique et devienne un outil purement mathématique.

Mais c'est avec Cantor (1845-1918) que ce mouvement s'acheva. Qualifiant de transfinis les nombres compris entre 0 et 1, approfondissant les définitions des ensembles infinis, il rendit définitivement opératoire l'infini et signait l'acte de naissance des mathématiques modernes.

Les symboles de l'infini

  • l'Ouroboros : en grec, serpent qui se mord la queue. On le retrouve dans de nombreuses cultures. C'est le symbole du temps cyclique
  • la lemniscate ∞ : introduite en 1665 par John Willis, ce 8 inversé ou 8 paresseux symbolise l'infini pour les mathématiciens.
  • l'aleph א : première lettre de l'alphabet hébreu. Cantor s'en sert pour désigner les ensembles infinis.

Ce contenu est proposé par