Probabilités conditionnelles 1/2 - exercices

Exercice 1

Godfrey sort se promener chaque jour avec une probabilité de 70 %. Quand il se promène, la probabilité qu’il progresse dans ses recherches mathématiques est de 32 %. Quand il est reste chez lui une journée, la probabilité qu’il progresse dans ses recherches mathématiques est de 15 %.
On utilisera les notations suivantes :

• S est l’événement « Godfrey se promène ».
• M est l’événement « Godfrey progresse dans ses recherches mathématiques ».

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Soit un jour donné. Quelle est la probabilité que Godfrey reste chez lui et progresse dans ses recherches mathématiques ?
3. Soit un jour donné. Quelle est la probabilité que Godfrey progresse dans ses recherches mathématiques ?
4. Soit un jour donné. Godfrey n’a pas progressé dans ses recherches mathématiques. Quelle est la probabilité qu’il soit allé se promener ?

Exercice 2

Gregor s’intéresse à la botanique et et à la météorologie. Chaque jour, il lit soit un traité de botanique, soit un traité de météorologie. Soient n un entier naturel et un jour donné n.

• S’il a lu un traité de botanique la veille, la probabilité qu’il lise un traité de météorologie est 3/5.
• S’il a lu un traité de météorologie la veille, la probabilité qu’il lise un traité de botanique est 3/4.

Le premier jour de ses lectures, le jour 0, Gregor a lu un traité de botanique.
Pour tout entier naturel n, on appelle p_n la probabilité que Gregor lise un traité de botanique au jour n.

1. Déterminer p₀.
2. Traduire la situation par un arbre pondéré en notant, pour tout entier naturel n, B_n l’événement « Gregor lit un traité de botanique au jour n » .
3. Démontrer que p_n+1 = - 7/20p_n + 3/4.
4. On pose, pour tout entier naturel n q_n = p_n - 5/9. Montrer que (q_n) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
5. Exprimer, pour tout entier naturel n, q_n en fonction de n et en déduire une expression de p_n en fonction de n.
6. En déduire la limite de (p_n). Interpréter le résultat.

Exercice 3

Considérons une fleur dont la couleur (rouge, rose foncé, blanche) est codée par un gène qui possède deux allèles, R et B. Le génotype BB donne la couleur blanche, le génotype RB donne la couleur rose foncé et le génotype RR donne la couleur rouge, l’allèle R étant dominant, l’allèle blanc récessif. Démontrons que la fréquence de l’allèle blanc est constante au cours du temps.
Soient n, N deux entiers naturels. Dans une population de taille N de ces fleurs à la génération n, la fréquence de l’allèle B est notée p_n, celle de l’allèle R est notée q_n. Le gène de la couleur ne possédant que deux allèles, p_n + q_n = 1.
On note B_n la probabilité qu’une fleur de la génération n soit blanche, de génotype BB, H_n la probabilité qu’une fleur de la génération n soit rose foncé, hétérozygote, de génotype RB et R_n la probabilité qu’une
fleur de la génération soit rouge, de génotype RR. Il n’existe que trois génotypes donc B_n + H_n + R_n = 1.

1. Etablir le carré de Punnett traduisant les transmissions possibles du gène de la couleur de la fleur à la génération n + 1 et compléter ce carré avec les proportions données.
2. Déterminer la probabilité qu’une fleur de la génération n + 1 soit blanche puis la probabilité qu’une fleur de la génération n + 1 soit hétérozygote et enfin qu’une fleur de la génération n + 1 soit rouge.
3. (a) Déterminer le nombre total d’allèles dans la population de fleurs à la génération n.
   (b) Calculer le nombre total d’allèles B à la génération n en fonction de p_n.
   (c) Calculer le nombre total d’allèles B à la génération n en fonction de H_n et B_n.
   (d) En déduire que la fréquence pn de l’allèle B à la génération n est p_n = B_n + (1/2)H_n
4. En déduire que la fréquence de l’allèle B est constante au cours du temps, c’est-à-dire, montrer que, pour tout entier naturel n, p_n+1 = p_n.

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