Résolutions d’équations - exercices

Exercice 1

1. Soient (a,b,c) ∈ ℝ³, a ≠ 0. On considère, pour tout réel x, le polynôme ax² + bx + c. 
   Supposons que ce polynôme admette deux racines réelles x₁ et x₂.
   Montrer que x₁ + x₂ = -b/a et x₁x₂ = c/a.
2. Déterminer les deux réels u et v tels que
   { uv = -1/2
   { u + v = -1

Exercice 2

Soient x ∈ ℝ et le polynôme P = x³ - 11x² + 38x - 40.

1. Montrer que 2 est racine de P.
2. Déterminer les trois réels a, b, c tels que P = (x - 2)(ax² + bx + c).
3. Déterminer toutes les racines de P.

Exercice 3

Soit l’équation d’inconnue x ∈ ℝ (E) : x⁴ - 8x³ + 14x² + 8x - 15 = 0.

1. Effectuer le changement d’inconnue x = z + 2 et montrer que cette équation peut s’écrire sous la forme az⁴ + bz² + c = 0 où a, b, c sont des réels à déterminer.
2. Résoudre (E).

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