Les fonctions sinus et cosinus

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Qu'est-ce que le cercle trigonométrique ?

un cercle de rayon 2π de centre 0 par rapport à un plan 2D
un cercle de rayon 1 de centre quelconque par rapport à un plan 2D
un cercle de rayon 1 de centre 0 par rapport à un plan 2D

Mauvaise réponse !

Le cercle trigonométrique a un rayon de 1 et 2π représente sa circonférence, car la circonférence d'un cercle vaut 2π x rayon. Donc la circonférence du cercle trigonométrique vaut 2π.

Dans quel sens tourne-t-on pour augmenter l'angle en radians dans le sens direct du cercle trigonométrique ?

le sens des aiguilles d'une montre
le sens inverse des aiguilles d'une montre
cela dépend de l'hémisphère dans lequel on se trouve

Mauvaise réponse !

Même si le sens de rotation des vents forts ou des tornades est inversé selon que l'on se trouve dans l'hémisphère nord ou sud, c'est bien le sens anti-horaire qui a été choisi pour appliquer le cercle trigonométrique de manière universelle.

Que signifie qu'une fonction ƒ(x) est périodique ?

Qu'il existe un a tel que quelque soit x, ƒ(x+a) = ƒ(x).
Qu'il existe un x tel que quelque soit a, ƒ(x+a) = ƒ(x).
Que sur un intervalle [-a,a], ƒ(x) est constant.

Mauvaise réponse !

Une fonction périodique répète les mêmes variations sur un intervalle donné appelé « période ».

Quelle est la périodicité de cos(7x) ?

2π/7
7/2π
2π

Mauvaise réponse !

En effet, « périodique » signifie que ƒ(x+a) = ƒ(x), donc cos(7(x+a)) = cos(7x + 7a) = cos(7x) => 7a = 2π => a = 2π/7 la périodicité est de 2π/7.

Qu'est-ce qu'une fonction ƒ(x) paire ?

Pour tout x appartenant à ℝ, ƒ(2x) = ƒ(x).
Pour tout x appartenant à ℝ, ƒ(-x) = ƒ(x).
Pour tout x appartenant à ℝ, ƒ(-x) = -ƒ(x).

Mauvaise réponse !

Une fonction paire est définie comme étant symétrique par rapport à l'axe x = 0 donc ƒ(-x) = ƒ(x). Quand on a ƒ(-x) = -ƒ(x), cela définit une fonction impaire.

Quelle est la parité de ƒ : x → sin(x) ?

La fonction est impaire.
La fonction est paire.
La fonction n'a pas de parité.

Mauvaise réponse !

En effet la fonction sinus est impaire par définition.

Quelle est la parité de ƒ : x → cos(x+3) ?

La fonction n'a pas de parité.
La fonction est paire.
La fonction est impaire.

Mauvaise réponse !

La fonction cosinus est certes paire mais la somme dans le cosinus lui fait perdre sa parité. Par exemple, pour x = 5 : cos(5+3) = -0,14 et cos((-5)+3) = -0,42 donc ƒ(-x) est différent de ƒ(x).

Quelle valeur de a appartenant à [0 ; π] donne cos(a) = sin(a) ?

π/4
π/6
π/3

Mauvaise réponse !

Ici, on utilise les valeurs à connaître par cœur et on trouve cos(π/4) = sin(π/4) = √(2) / 2

Que valent cos(π/3) et sin(-π/2) ?

respectivement 1/2 et -1
respectivement √(3)/2 et 1
respectivement √(3)/2 et 1/2

Mauvaise réponse !

Cette valeur est à connaître par cœur : cos(π/3) = 1/2, comme pour sin(-π/2) qui vaut -1.

Que vaut cos(π - (π/6)) ?

-1/2
-(√(3)/2)
1/2

Mauvaise réponse !

En effet, on sait déjà que cos(π-x) = -cos(x) et -cos(π/6) = -(√(3)/2).

Que peut-on dire de la périodicité et de la parité de ƒ : x → sin(7 x cos(5x)+4) ?

Elle est non périodique et impaire.
Elle est périodique et paire.
Elle est périodique et impaire.

Mauvaise réponse !

Ici, cos(-5x) = cos(5x) donc dès la première application du cosinus on assure un coté pair. De la même manière, cos(5(x+(2π/5))) = cos(5x+2π) = cos(5x) donc on a bien la périodicité de période 2π/5.

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