Équation cartésienne de cercle

L'équation cartésienne d'un cercle, tu connais ? Avec Les bons profs, tu vas tout comprendre !

C'est quoi l'équation cartésienne d'un cercle ?

• Deux cas possibles : soit on connaît le centre et le rayon, soit on connaît deux points qui forment un diamètre.
• Premier exemple : pour le centre, tu as les coordonnées du centre et le rayon du cercle : le centre omega et le rayon R. Pour trouver l’équation, on prend n’importe quel point du cercle. Un point M par exemple : ΩM : c’est le rayon. On se sert donc de la formule de la distance et on met tout au carré.

Ω² = R²

(x – a)² + (y – b)² = r²

• SiΩ (-1 ; 2) et r = 3 c’est une équation réduite, qui est unique.

(x + 1)² + (y – 2)²  = 9.

• Deux possibilités sur cet exemple : ou on te donne le centre et le rayon et tu essayes de retrouver l’équation réduite ou alors à partir de l’équation réduite, tu essayes de retrouver les coordonnées du centre et du rayon. Attention, quand on a un +, aura un – sur l’abscisse du centre.
• Deuxième exemple : on connaît le diamètre : A et B sont un des diamètres du cercle. Je place n’importe quel point M sur le cercle. Obligatoirement, le triangle MAB est un triangle rectangle (un triangle inscrit dans un cercle dont un des côtés est le diamètre du cercle est rectangle) Donc si on a un angle droit ici, une nouvelle application du produit scalaire, le vecteur MA et le vecteur MB sont orthogonaux.
• Donc : MA . MB = 0

C'est quoi le produit scalaire ?

• C’est un grand classique du produit scalaire appliqué. Grâce à ça, si je cherche les coordonnées de MA et les coordonnées du vecteur MB, en utilisant la formule du produit scalaire, je vais donc trouver une équation de cercle qui sera ce qu’on appelle une équation cartésienne, une des équations cartésiennes vu qu’il y en a plusieurs.

Exemple :

• A (- 1 ; 3) B (5 ; 2) M (x ; y)
• Le triangle MAB est rectangle donc les vecteurs donc MA et MB sont orthogonaux donc le produit scalaire est égal à 0.
• Je cherche les coordonnées de MA et de MB et je fais le produit scalaire : (-1 – x) (5 – x) + (3 – y) (2 – y) = 0.
• On développe tout et on tombe sur une équation de ce type : x² + y² – 4 x – 5 y + 1 = 0
• C’est une équation cartésienne. Elle n’est pas unique. Elle est moins pratique que l’équation réduite. On peut la transformer par factorisation.
• On factorise, on envoie toutes constantes de l’autre côté et on obtient son équation réduite :

(x – 2)² + (y – 5/2)² = 37/4

•  À partir de l’équation réduite, on peut trouver les coordonnées du centre et le rayon au carré, donc la racine carrée de 37/4.

Cela va donner le rayon, l’intérêt de l’équation réduite.

Comment trouver l'équation d'un cercle, en résumé ?

En résumé, pour trouver l’équation d’un cercle, tu as deux possibilités : ou tu connaîs le centre et le rayon et tu utilises la formule de la distance et tu obtiens assez facilement la formule. Ou alors, tu connais le diamètre, tu utilises le triangle rectangle, le produit scalaire est égal à 0 et tu arrives à une équation cartésienne.

• Le sais-tu ?

 À la place d’un cercle, tu peux avoir une sphère. La sphère, c’est aussi des triangles rectangles. Tu vas avoir une coordonnée en plus car tu travailles dans l’espace. Un z va apparaître dans l’équation cartésienne ou dans l’équation réduite.