Axe de symétrie et sommet d'une parabole

Sais-tu comment déterminer l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole ? Avec Les bons profs, tu vas tout comprendre !

Comment déterminer l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole ?

Nous allons voir de façon géométrique ce qu’il se passe quand on a des équations du second degré du type y = ax² + bx + c.

Nous allons traiter deux exemples qui permettront de mieux comprendre le cas général.

Comment maximiser ?

Exemple 1 :

y = - 2 x² + 8 x + 8

• Pour regarder si cette parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, on regarde le coefficient a. Ici, le coefficient a est -2. C’est un nombre négatif. a › 0. La parabole est tournée vers le bas. Son sommet correspond à un maximum. On va donc avoir un axe de symétrie qui est parallèle à l’axe des ordonnées, qui passe par le sommet. Si je connais les coordonnées du sommet, j’aurai l’équation de l’axe puisque ce sera la droite d’équation x = l’abscisse de S.
• L’objectif, c’est de chercher les coordonnées du sommet de la parabole s : P : S.
• Je vais d’abord factoriser par – 2 :

– 2 x² + 8 x + 8 = – 2 (x² – 4 x – 4)

                                           = – 2 ( (x– 2)² x – 4) – 4 – 4 )

                                           = – 2 ( (x– 2)² x – 4) – 8 )

                                           = – 2 ( (x– 2)² x – 4) + 16 )

• On cherche à maximiser cette dernière quantité :

– 2 ( x– 2)² = 0. Cela revient à dire que x = 2. J’ai trouvé l’abscisse de mon sommet S. Je peux calculer l’image de 2 par la parabole pour avoir l’ordonnée du point S. Je reprends ma forme de départ et je calcule :

– 2 ( 2)² + 8 x 2 + 8 = – 8 + 16 + 8 = 16

• Donc : S ( 2 ; 16 )
• J’ai aussi l’équation de mon axe de symétrie. C’est la droite d’équation x = 2.

Comment minimiser ?

Exemple 2 :

Ce n’est pas la même configuration.

Y = x² + 2 x – 5

• Ici, j’ai un polynôme du second degré avec un coefficient a qui vaut 1, donc positif. La parabole est tournée cette fois-ci vers le haut. Le sommet est un minimum. L’axe de symétrie sera la droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par le point S. Pour connaître son équation, j’ai besoin de connaître les coordonnées du point S.
• Je vais chercher à minimiser la quantité :

x² + 2 x – 5 = ( x + 1 )² – 1 – 5

                    = ( x + 1 )² – 6

• On appelle ces formes arrangées des formes canoniques.

( x + 1 )² = 0. C’est-à-dire x = – 1. J’ai l’abscisse de mon sommet S. Il faut chercher l’image de – 1 par une équation :

( – 1 )² + 2 x ( – 1 ) – 5 = 1 – 2 – 5 = – 6

S ( – 1 ; – 6 )

• J’ai aussi l’axe de symétrie, la droite d’équation : x = – 1.

Quel est le cas général pour déterminer l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole ?

On va chercher à déterminer la forme canonique pour réussir à déterminer maximum et minimum. Cela nous permettra de lire directement les coordonnées du sommet et donc l’équation de l’axe de symétrie de la parabole.

Je lis maintenant directement les coordonnées du point S. C’est-à-dire x = -b/2a. Ce sera donc toujours l’abscisse du sommet de la parabole. Pour calculer l’ordonnée de S, j’applique :

( = -b/2a , f (-b/2a) )

Conclusion : les coordonnées du sommet : -b/2a

L’équation de l’axe de symétrie de la parabole, c‘est la droite d’équation x = -b/2a qui est une droite parallèle à l’axe des ordonnées et qui sera l’axe de symétrie de la parabole.