Les vecteurs et les forces

Rappels des fondamentaux

Les vecteurs

Définition

Un vecteur est un objet mathématique défini comme : « un segment orienté dans l'espace possédant une origine et une extrémité »

Représentation

Il est représenté par une flèche qui symbolise

• sa direction (droite qui le supporte)
• son sens (un vecteur est orienté)
• son module (distance entre ses deux extrémité, autrement dit sa longueur)
• Textuellement, un vecteur est souvent désigné par un couple de points en coordonnées cartésiennes, par exemple :
  AB [(x1, y1) ; (x2, y2)]

Il peut également être désigné en coordonnées polaires, en donnant l'angle avec l'horizontale de la droite qui le supporte et son module. Par exemple :

OA [θ, m]

Vecteur nul

Il existe un vecteur nul : il s'agit du vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. Autrement dit, soit un point A(x1, y1), le vecteur AA est le vecteur nul.

Opérations sur les vecteurs

Les opérations les plus simples sur les vecteurs sont l'addition de deux vecteurs et la multiplication d'un vecteur par un scalaire.

Addition de deux vecteurs

L'addition de deux vecteurs est plus simple à exprimer en coordonnées cartésiennes.
Soit deux vecteurs OA [(0, 0) ; (x1, y1)] et OB [(0, 0) ; (x2, y2)], OA + OB donne un vecteur OC dont les coordonnées sont :

OC [(0, 0) ; (x1+x2, y1+y2)]

A noter : deux vecteurs sont dits opposés lorsque leur somme donne le vecteur nul.

L'addition des vecteurs est commutative : AB + CD = CD + AB et transitive : (AB + CD) + EF = AB + (CD + EF).

Multiplication d'un vecteur par un scalaire

La multiplication d'un vecteur par un scalaire est, elle, plus simple à exprimer en coordonnées polaires. Soit un vecteur OA [θ, m] et un scalaire a, le produit a.OA donne le vecteur OB [η, |a|.m] où :

• η = θ si a > 0 ;
• η = Π + θ si a < 0 |a| est la valeur absolue de a

A noter : si a = 0, le vecteur résultant est évidemment le vecteur nul.

Les forces

Définition

Une force est une grandeur physique, définie comme : « la cause de la déformation d'un corps ou de la modification de son état de repos ou de mouvement ». Elle est exprimée en newtons. Elle est représentée par un vecteur selon le schéma suivant :

Opérations sur les forces

Lorsque plusieurs s'appliquent sur un corps, il est nécessaire de les additionner pour trouver la force résultante.

Premier cas : les forces s'appliquent en un même point. Dans ce cas, il suffit d'additionner les vecteurs qui représentent les forces pour trouver le vecteur représentant la force résultante. C'est, pour des raisons de simplicité le cas envisagé dans notre introduction à la mécanique du vol.

Deuxième cas : les forces s'appliquent en des points distincts. Pour trouver la force résultante, il est nécessaire de considérer. L'addition des forces dans ce cas peut alors être complexe et dépend de la configuration physique de l'objet auquel les forces sont appliquées.

• un mouvement de translation qui résulte de l'addition des forces (comme dans le premier cas)
• un mouvement de rotation qui résulte de la distance entre les points d'application des différentes forces ; cette tendance à générer un mouvement de rotation est appelée moment de force.

Équilibre des forces

L'équilibre physique d'un corps est défini comme « l'état dans lequel la somme de toutes les forces appliquées à ce corps est égale à zéro ». Il est alors immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante).

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