Centre de gravité du triangle

Sais-tu ce qu'est le centre de gravité d'un triangle et comment le construire ? Avec Les bons profs, tu vas tout comprendre.

C'est quoi le centre de gravité d'un triangle ?

Nous allons voir deux applications de cet objet mathématique.

Rappel : Lorsque Bet C sont deux points du plan, A’ est le milieu de [ BC ] si et seulement si BA’ = 1/2 BC.

• En jouant avec la relation de Chasles sur le vecteur BC en faisant intervenir le point A’, on obtient l’équivalence si et seulement si A’B + A’C = 0. Cela peut être considéré comme la définition du milieu d’un triangle. On va voir ce que ça donne lorsqu’on a trois points qui interviennent :

Soit ABC un triangle. Il existe un point du plan noté G et un seul tel que GA + GB + GC = 0.

Ce point est appelé le centre de gravité du triangle ABC.

Comment peut-on construire le centre de gravité d'un triangle?

• En faisant intervenir la relation de Chasles dans cette égalité vectorielle, on obtient :

GA + ( GA + AB ) + ( GA + AC ) = 0. En regroupant les GA, on a trois GA qu’on passe de l’autre côté. On a donc trois AG.

AG = 1/3 ( AB + AC )

On fait maintenant intervenir le point A’, qui est le milieu de BC. On obtient :2/3 AA’ + 1/3 ( A’B + A’C ). On vient de démontrer que AG = 2/3 AA’. De même, mutatis mutandis (une fois les modifications nécessaires effectuées) :

BG = 2/3 BB’ où B’ désigne le milieu du segment AC.

CG = 2/3 CC’ où C’ désigne le milieu du segment AB.

On vient de montrer que le point G est situé sur les trois médianes du triangle. En effet AG =2/3 AA’. Les vecteurs AG et AA’ sont donc colinéaires. Ou plus rapidement, les points AG et A’ sont alignés. Donc G appartient à la médiane issue de A. De la même manière G appartient à la médiane issue de B. G appartient à la médiane issue de C. Donc G est situé sur les trois médianes. On montre là que les trois médianes d’un triangle concourent en un point qui est appelé centre de gravité du triangle qui est défini par la relation vectorielle GA + GB + GC = 0.

• Deuxième application :

Nous considérons un triangle ABC du plan dont le centre de gravité sera noté G et à tout point M du plan, on associe le réel MA² + MB² + MC² .

Il importe de bien comprendre que le point M peu être placé n’importe où dans le plan, à l’extérieur comme à l’intérieur. A ce point M particulier est associé la longueur au carré :

MA² + MB² + MC² = AB² + AC². Il y a donc une infinité de valeurs possibles. On cherche s’il existe un point M qui pourrait rendre minimale cette quantité-là :

f (M) = MA² + MB² + MC²

⇒ J’utilise la relation de Chasles en faisant intervenir le centre de gravité :

= ( MG + GA )² + ( MG + GB )² + ( MG + GC )²

⇒ J’utilise l’identité remarquable qui fonctionne pour le produit scalaire. Donc on obtient :

= 3 MG² + GA² + GB² + GC² + 2 MG . ( GA + GB + GC )

= 3 MG² + GA² + GB² + GC²

 À ce stade-là, il importe de bien comprendre qu’on ne peut rien faire de GA² + GB² + GC². Cela fait partie de l’énoncé. Tout dépend du triangle qui a été choisi. Cette quantité ne bouge plus, elle est fixée.

⇒ Je peux affirmer que f ( M ) sera toujours supérieur à GA² + GB² + GC².

Est-ce qu’il est possible que f ( M ) soit exactement égal à cette valeur qui deviendrait à ce moment-là minimale ? Oui, lorsque 3 MG² est nul, lorsque MG est nul, lorsque le point M est égal au point G. Lorsque le point M est égal au point G, f ( M ) devient minimal et quelle est la valeur minimum de cette fonction ? C’est f ( G ) : GA² + GB² + GC².

C’est donc au point G que l’on réalise le minimum des distances GA² + GB² + GC².