Modélisation : croissance et décroissance exponentielle

Qu'est-ce que les croissance ou décroissance exponentielles ? Cette vidéo des Bons Profs te donne des exemples de l'utilisation de la fonction exponentielle dans différents domaines de l'économie ou de la physique. 

Que faut-il retenir ?

► La fonction exponentielle f(x) = exp (x) est une fonction qui est croissante.

► Un cours exponentiel de -k(x), avec k strictement positif, donne des fonctions qui sont décroissantes, et exponentielles de k(x), k toujours strictement positif, donnent des fonctions croissantes. 

À partir de là, on a des croissances ou des décroissances exponentielles, c'est ce que l'on appelle de la modélisation. 

L'exemple du placement de capital

On dépose à la banque à l'instant t = 0 un capital de C₀ = 12 000
► On suppose ici que p = 1 %.
Ainsi, pour tout réel t,  C(t) = 12 000e^0,01t.
► Or C est dérivable sur ℝ et C'(t) = 12 000 x 0,01e^0,01t = 120 0,01t
Ainsi, C'(t) > 0, la fonction C est donc strictement croissante sur ℝ.
► Enfin, on a C(1) = 12 121 et C(2) = 12 242

L'exemple de l'offre et la demande

► On représente l'offre par la fonction définie pour t € [3;6] qui représente le prix unitaire par ⨍(t) = 250e^t - 4000 qui est une fonction croissante et la demande par la fonction définie pour t € [3;6] par g(t) = 10⁷e^-2t + 10000 qui est une fonction décroissante. 

► On peut trouver le prix d'équilibre correspondant à l'abscisse du point d'intersection des 2 courbes. Graphiquement on trouve t ≈ 4,2.

► On peut aussi chercher, à la calculatrice, une valeur de vérifiant ⨍(t) = g(t), c'est dire vérifiant :

250e^t - 4000 = 10⁷e^-2t + 10000

⇔ 250e^t - 10⁷e^-2t  - 14000 = O

L'exemple de la loi de désintégration

► On dispose d'une quantité initiale N₀ d'éléments radioactifs qui se désintègrent en suivant la loi définie pour tout réel t positif par :

N(t) = N₀e^-λt ; avec λ = 0,121 pour l'élément carbone 14 et t le temps en années.

► On peut déterminer avec ce type de modèle la quantité de matière restante pour toute valeur de t souhaitée.

👉 Révise encore mieux avec notre fiche de révision sur la fonction exponentielle.