Nombre dérivé

Dans cette vidéo des Bons Profs, tu vas étudier le nombre dérivé. Pour comprendre cette notion fondamentale, tu dois comprendre la relation entre le taux d'accroissement et le graphique. Ces 2 éléments vont te permettre de calculer le nombre dérivé. 

Comment arrive-t-on au nombre dérivé ?

C'est une notion totalement nouvelle, donc il faut absolument comprendre la démarche et l'influence du taux d'accroissement sur le graphique pour arriver à cette notion de nombre dérivé.

Définition :
Soient ⨍ une fonction définie sur I et et deux points a et b appartenant à la courbe représentative de la fonction ⨍ ayant pour coordonnées respectives (a; ⨍(a)) et (a + h; ⨍(a+h)) où h est un réel,
le coefficient directeur de la droite (AB) est : yB - yA / xB - xA = ⨍(a+h) - ⨍(a) / a + h - a = ⨍(a+h) - ⨍(a) / h : c'est aussi le taux d'accroissement.

Le réel h est choisi de plus en plus petit de telle manière que le point B se rapproche du point A et que la droite (AB) se rapproche de la droite bleue.
On notera alors ^lim_h →0 ⨍(a+h) - ⨍(a) / h                              

Si le résultat de ce calcul est un réel l, alors la fonction ⨍ est dérivable en a et l est noté ⨍′(a) :
⨍′(a) est le nombre dérivé de la fonction ⨍ au point a.

Exemple :

On considère ⨍(x) = x²

• Soit a un réel, on commence par calculer le taux d'accroissement

⨍(a+h) - ⨍(a) / h = (a+h)² - a² / h = a² + 2ah + h² - a² / h = 2a + h après simplification par h

• Puis on calcule la limite de ce taux d'accroissement, ^lim_h →0 ⨍(a+h) - ⨍(a) / h  = 2a
• Or 2a est un nombre fini, donc la fonction ⨍ est dérivable en a et ⨍'(a) = 2a .

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