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Opérations et dérivées
Les bons profs : maths Lycée
Avant de commencer les opérations sur les dérivées, il te faut connaître ce qu'est une fonction dérivée et le tableau des dérivées usuelles pour pouvoir l'appliquer ensuite à une somme, un produit etc. Les conseils et le rappel de cours des Bons Profs👇
Quelles sont les formules de dérivation ?
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur I.
La dérivée d'une somme, si l'on additionne 2 fonctions
La dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chaque fonction : c'est à dire (u + v)′ = u′ + v′.
Par exemple ⨍(x) = x2 + 1/x.
► Il faut dans un premier temps chercher le domaine de définition et l'ensemble de dérivabilité.
La fonction u (x) = x2 est définie et dérivable sur ℝ et la fonction v (x) = 1/x est définie et dérivable sur ℝ∗.
Ainsi, la fonction ⨍ est définie et dérivable sur ℝ∗.
Pour x ∈ ℝ∗, ⨍′ (x) = 2x + −1/x2.
La dérivée du produit d'une fonction par un réel k
►La formule est la suivante : (ku)′ = k × u′ avec k ∈ ℝ.
Exemple, on souhaite déterminer la dérivée de ⨍(x) = −2x2.
La fonction ⨍est définie et dérivable sur ℝ ainsi :
pour tout réel x, ⨍′ (x) = −2 × (2x)= −4x.
La dérivée de l'inverse d'une fonction
► La formule est : (1/v)′ = −v'/v2 pour tout x ∈ I et il faudra veiller à ce que v(x) ≠ 0.
Exemple, considérons la fonction ⨍(x) = 1/x+1.
⨍ est définie et dérivable sur ℝ∖{−1} :
Pour tout réel x différent de −1, ⨍′(x)= −1/(x+1)2.
La dérivée du produit de 2 fonctions
► La dérivée d'un produit est donnée par la formule suivante : (uv)′ = u'v + uv'.
Exemple : Soit ⨍(x) = (3x + 1)×√x
La fonction x ↦ 3x + 1 est définie et dérivable sur ℝ
La fonction x ↦ √x est définie sur ℝ+ et dérivable sur ℝ∗+.
Ainsi, ⨍ est définie sur ℝ+ et dérivable sur ℝ∗+.
Pour tout x ∈ ℝ∗+, ⨍′(x) = 3 × √x + (3x + 1) × 1/2√x.
La dérivée du quotient de 2 fonctions
► La dérivée d'un quotient est (u/v)′ = u′v−uv′/v2. La fonction v ne s'annulant pas.
Exemple : Soit ⨍(x) = 2x + 1/x − 4 définie et dérivable sur ℝ∖{4},
Pour tout x différent de 4,
⨍′(x) = 2(x−4)−(2x+1)×1/(x−4)2.
⨍′(x) = −9/(x−4)2.
⚠️ Les 5 formules à retenir :
- La somme : (u + v)′ = u′ + v′
- Le produit par un réel k : (ku)′ = ku′ pour tout réel ℝ
- L'inverse : (1/v)′ = −v'/v2
- Le produit : (uv)′ = u'v + uv'
- Le quotient : (u/v)′ = u′v−uv′/v2
👉 Entraîne-toi avec d'autres exercices.
Réalisateur : Les Bons Profs
Producteur : Les Bons Profs
Année de copyright : 2022
Publié le 23/12/25
Modifié le 23/12/25
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