Factorisation d'un polynôme du second degré

Comment factoriser un polynôme du second degré ? Découvre comment procéder dans cette vidéo à travers plusieurs exemples.

Définition du polynôme du second degré

Un polynôme du second degré en x est une expression de la forme ax² + bx + c, avec a, b, c comme coefficients réels, et a ≠ 0.

► Soit P(x) = ax²+ bx + c

• avec  a ≠ 0
• avec x qui appartient à R.

Si Δ = 0, alors P(x) = a(x-x₀)² avec la racine double de P.

Si Δ > 0, alors P(x) = a(x-x₁) (x-x2) avec x₁ et x₂ les racines distinctes de P.

Si Δ < 0, alors P n'admet pas de forme factorisée.

Propriétés du polynôme du second degré et factorisation

1. Si Δ > 0, alors x₁x₂ = c/a  ET x₁ + x₂ = -b/a
2. Si a +b + c = 0, alors 1 est une racine du polynôme.
   ► Exemple 
   On suppose que P(x) = -2x² - 4x + 6.
   On remarque ici que a + b + c = -2 - 4 + 6 = 0, donc 1 est une racine du polynôme.
   Or, x₁x₂ = c/a = -3.
   Ainsi 1 x x₂ = x₂ = -3.
   ► La forme factorisée de P est P(x) = -2 (x-1)(x-(-3)) = -2(x-1)(x+3).
3. Si c = 0 alors 0 est une racine du polynôme car P(x) = x(ax+b) dans ce cas.
   ► Exemple
   On suppose que P(x) = 3x² - 4x.
   On remarque que c = 0, donc P(0) = 0.
   En outre, on sait que x₁+x₂ = -b/a.
   Ainsi x₁+x₂ = 0 donc x₂ = 4/3.
   ► La forme factorisée de P est P(x) = 3x(x - 4/3).
4. Si b = 0, on peut essayer de factoriser avec une égalité remarquable.
   ► Exemple 
   On suppose que P(x) = 2x² - 8.
   On remarque que b = 0.
   On peut alors factoriser ici par 2, puis utiliser une identité remarquable.
   ► La forme factorisée de P est P(x) = 2(x² - 4) = 2(x - 2)(x + 2).
5. Reconnaître une égalité remarquable.
   ► Exemple
   On suppose enfin que P(x) = 2x² - 4x + 2.
   On calcule d'abord Δ et on trouve Δ = 0.
   Cela signifie que l'on peut utiliser une identité remarquable pour factoriser directement le polynôme.
   On commence par factoriser par 2 :
   ► La forme factorisée de P est P(x) = 2(x² - 2x + 1) = 2(x - 1)².

👉 Entraîne-toi aux polynômes du second degré avec des exercices.
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