Factorisation d'un polynôme du troisième degré

Comment factoriser un polynôme du troisième degré ? Découvre quelle est la méthode dans cette vidéo à travers plusieurs exemples.

Propriété du polynôme du troisième degré

Un polynôme du troisième degré en x est une expression de la forme ax³ + bx² + cx + d , avec a, b, c, d comme coefficients réels, et a ≠ 0.

► Soit P(x) = ax³ + bx² + cx + d

• avec  a ≠ 0
• avec x qui appartient à R.

Si x₀ est une racine du polynôme P(x₀) = 0, alors P se factorise sous la forme suivante : P(x) = (x - x₀) X Q(x) avec Qcomme polynôme du second degré.

► Exemple

Soit P un polynôme du troisième degré défini par P(x) = x³ + 2x² + x - 4.

On cherche à écrire ce polynôme sous la forme (x - x₀) X Q(x) où x₀ est une racine évidente.

On remarque ici que la somme des coefficients vaut 0 car (1 + 2 + 1 - 4 = 0), ainsi 1 est une racine évidente.
On peut donc écrire P sous la forme P(x) = (x - 1) X Q(x).
Comme Q est un polynôme du second degré, il s'écrit sous la forme a'x² + b'x + c' avec a', b', c' comme coefficients réels (a' ≠ 0) qu'il s'agit de déterminer.
Pour déterminer la valeur des coefficients, tu dois tout d'abord développer le polynôme factorisé.
P(x) = (x - 1) (a'x² + b'x + c') 
P(x) = a'x³ + b'x² + c'x - a'x² - b'x - c'
On regroupe ensuite les coefficients semblables.
P(x) = a'x³ + (b' - a')x² + (c' - b')x - c'
Or, deux polynômes de mêmes degré sont égaux si les coefficients sont égaux.

On peut donc écrire le système d'égalité suivant par égalité des coefficients entre le polynôme P initial et la nouvelle égalité précédente :

► Finalement, on peut écrire P sous la forme P(x) = (x - 1)(x² + 3x + 4).
En développant ce polynôme, on retrouve l'écriture initiale de ce dernier.

Remarques sur la factorisation d'un polynôme du troisième degré

1. Si d = 0, le polynôme peut se factoriser par x, et on obtient directement la factorisation.
   ► Exemple : P(x) = x³ - 3x² + 5x = x(x² - 3x +5)
2. Si on te demande de chercher une racine évidente, il s'agit d'utiliser ta calculatrice pour calculer le polynôme en certaines valeurs (-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3).
   ► Exemple : P(x) = 2x³ + 2x² - 28x - 48
   Avec la calculatrice, on trouve que -2 est une racine, c'est-à-dire P(-2) = 0.
   Ainsi, P s'écrit sous la forme P(x) = (x - (-2))Q(x) = (x + 2)Q(x).
   On prend garde ici au fait que la factorisation s'écrit (x - x₀) et on utilise des parenthèses pour ne pas se tromper.