La somme des variables aléatoires

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L'espérance d'une somme de variable aléatoires E(aX) peut s'écrire :

E(aX) = a + E(X)
E(aX) = aE(X)
E(aX) = E(X²)

Mauvaise réponse !

Chercher l'espérance d'une somme de variables aléatoires revient effectivement à multiplier l'espérance par le facteur a.

L'espérance d'une variable aléatoire est une fonction...

linéaire
continue
non-linéaire

Mauvaise réponse !

En effet, l'espérance est une fonction linéaire qui est donc toujours proportionnelle et peut s'écrire sous la forme f(x) = ax.

L'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre (n ; p) peut s'écrire :

E(X) = n/p
E(X) = p/n
E(X) = np

Mauvaise réponse !

Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale, il faut en effet multiplier le nombre de répétitions n par la probabilité d'apparition de l'évènement p pour obtenir l'espérance E(X).

La variance d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre (n ; p) peut s'écrire :

V(X) = np²
V(X) = np(1-p)
V(X) = np

Mauvaise réponse !

La variance d'une variable aléatoire correspond à son espérance mulitpliée par (1-p), ce qui revient donc à V(X) = np(1-p).

On lance 10 fois un dé et on note le chiffre obtenu. Cette épreuve est une épreuve de Bernouilli.

Vrai
Faux

Mauvaise réponse !

Non, on ne peut pas dire que c'est une épreuve de Bernouilli, car elle n'a pas que deux résultats possibles, mais six, à chaque jeté de dé.

On lance 100 fois une pièce. La variable X correspondant au nombre de fois où on obtient « face »...

Est toujours égal à 50.
Suit une loi binomiale.
Ne suit pas une loi binomiale.

Mauvaise réponse !

Si on répète une épreuve possédant seulement deux résultats possibles de manière identique et indépendante, on est bien en présence d'une variable suivant une loi binomiale. Avec beaucoup de chance, on pourrait en revanche très bien imaginer obtenir « face » 100 fois en 100 lancers !

On lance un dé à 10 faces. La variable aléatoire qui vaut 10 si on obtient un nombre pair et 0 pour un impair a pour espérance :

Mauvaise réponse !

En effet, il y a le même nombre de chiffres pairs qu'impair sur un dé à 10 faces, la probabilité d'obtenir l'un, ou l'autre, est donc égale à 1/2. On peut donc écrire que E(X) = 1/2 x 10 + 1/2 x 0 = 5.

On lance un dé à 6 faces. X étant la variable aléatoire égale au chiffre obtenu, que vaut P(X < 3) = ?

Mauvaise réponse !

Les seules faces du dé pour lesquelles P(X < 3)sont la face 1 et la face 2. La probabilité d'obtenir X < 3 vaut donc P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2), soit 1/6 + 1/6 = 1/3.

Soient deux variables indépendantes X et Y. On peut dire que V(aX+Y) = ?

aV(X) + aV(Y)
a²V(X) + a²V(Y)
a²V(X) + V(Y)

Mauvaise réponse !

En effet la variance V de aX vaut a²V(X), et la variance de aX + Y vaut a²V(X) + V(Y).

L'écart-type d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres (n ; p) peut s'écrire :

σ = V²
σ = nV + pV
σ = racine de V

Mauvaise réponse !

L'écart-type correspond à la racine carrée de la variance, soit dans ce cas à la racine carrée de np(1-p).

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