Les probabilités : répétition d'épreuves indépendantes et variables aléatoires

Sophie, prof de maths, propose un cours sur les probabilités et, plus particulièrement, sur la répétition d'épreuves indépendantes et les variables aléatoires.

Retrouvez le support de cours en PDF.

Etudier une répétition de deux épreuves indépendantes

On entend par « épreuve » une expérience aléatoire.

Par ex, j’ai 3 boules indiscernables au toucher, 2 rouges et 1 bleue. J’en choisi une au hasard.

L’épreuve est donc le fait de tirer une boule.

Quelles sont les issues possibles ? Il y en a 2 : soit les rouges, soit les bleues.

Donc l’univers associé à cette expérience aléatoire, c’est « rouge », «  bleu », ω = {R;B}, avec les probabilités suivantes :

• probabilités d’avoir une boule rouge, 2 chances sur 3 ⇒ P(R) = 2/3
• probabilité d’avoir une boule bleue, 1 chance sur 3 ⇒ P(B) = 1/3

Mais, si je répète cette épreuve à l’identique, on parle alors de répétition de 2 épreuves indépendantes, car les résultats de la première épreuve n’ont pas d’influence sur le résultat de la seconde. A ce moment-là, les issues possibles de cette répétition, ça va être un couple, c’est-à-dire, par exemple (B,R).

L’univers associé à cette expérience aléatoire est donc l’ensemble des couples de 2 valeurs possibles entre R et B : Ω = {(R,R) ; (R,B) ; (B,R) ; (B,B)}

Principe multiplicatif:

Lorsque deux épreuves sont indépendantes, la probabilité d’un couple de résultats est égale au produit des probabilités de chacun des résultats.

Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire

Un jeu consiste à tirer une boule dans une urne. Si le joueur tire un boule bleue, il gagne 2 bonbons, s’il tire une boule jaune ou une boule rouge, il gagne 1 bonbon.

Expérience aléatoire : tirer au hasard une boule dans l’urne.

Les issues de cette expérience aléatoire sont

R: « la boule tirée est rouge » ; R 1

B: « la boule tirée est bleue » ; B 2

J :« la boule tirée est jaune ». J 1

Ω = {R ; B ; J}

Cette opération qui associe à chaque évènement de l'univers de l'expérience aléatoire un nombre réel, la récompense, c'est la variable aléatoire.

Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω et à valeur réelle, on la note X.

Ici :

{X = 1} = {R ; J}

{X = 2} = {B}

Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire, lister les valeurs possibles de la varable aléatoire et associer à chacune des valeur sa probabilité. En général on la représente dans un tableau.

P(X = 1) = P(R) + P(J) = 2/6 + 3/6 = 5/6

P(X = 2) = 1/6

La somme des probabilité est égale à 1.