La succession d'épreuves indépendantes

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Que vaut le coefficient binomial Comb(x,y) ?

y! / ( x! * (y-x)! )
( x! * y! ) / (y-x)!
( x! * (y-x)! ) / y!

Mauvaise réponse !

Le coefficient binomial donne le nombre de combinaison de x objets dans un échantillon de y objets sans ordre prédéfini. On a, si on note l'ordre, ordre y! / (y-x)!. On réduit ensuite en divisant par x! le nombre de combinaisons de x éléments.

Est-il plus probable en lançant un dé trois fois d'affilée de trouver trois 6 ou un 3 suivi de deux 4 ?

Les deux événements sont équiprobables.
Obtenir un 3 suivi de deux 4 est le plus probable.
Obtenir trois 6 d'affilée est le plus probable.

Mauvaise réponse !

Dans tous les cas, obtenir un 4, un 3 ou un 6 équivaut à une probabilité de 1/6. Les événements étant indépendants, pour avoir la probabilité de trois 6 on a 1/6 x 1/6 x 1/6 et pour avoir un 3 puis deux 4 on a aussi 1/6 x 1/6 x 1/6 soit 1/216.

Qu'est ce qu'une épreuve de Bernoulli ?

Une épreuve à trois issues de probabilité égales.
Une épreuve à trois issues de probabilité p, (1-p)/2 et (1-p)/2.
Une épreuve à deux issues possible : réussite et échec de probabilité respective p et (1-p).

Mauvaise réponse !

L'épreuve de Bernoulli comporte bien deux issues : la « réussite » de probabilité p avec 0 < p < 1 et l'« échec » de probabilité (1-p) usuellement noté q.

Quelles valeurs peut prendre une variable aléatoire du type d'épreuve de Bernoulli ?

0 et p
0, 1 et p
0 et 1

Mauvaise réponse !

Une variable aléatoire liée à une épreuve de Bernoulli est définie comme valant 1 pour la réussite et 0 pour l'échec, le but étant à terme de compter le nombre de réussites. De plus, une épreuve de Bernoulli a deux issues, il ne peut donc il y avoir au maximum que 2 valeurs.

Quel est le paramètre p d'une épreuve de Bernoulli lié au fait d'obtenir « pile » à pile ou face ?

0,75
pile
0,5

Mauvaise réponse !

p est le paramètre défini par la probabilité de la réussite d'une expérience, il ne peut pas s'agir d'un mot. De plus un lancé de pièce à 2 faces a une probabilité 1/2 de donner « pile » ou « face ».

Quel est le paramètre p d'une épreuve de Bernoulli lié au fait d'obtenir 5 ou 6 à un lancer de dé ?

Mauvaise réponse !

Obtenir 5 ou 6 a indépendamment 1/6 de probabilité de se réaliser, donc l'un ou l'autre donne 2/6 soit 1/3.

Que vaut l'espérance d'une variable aléatoire de type « épreuve de Bernoulli » de paramètre p ?

E(X) = 0
E(X) = 1
E(X) = p

Mauvaise réponse !

La formule est donnée par E(X) = somme(x * P(X=x)) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) = 0 * (1-p) + 1 * p = p on a donc bien E(X) = p .

Qu'est ce qu'une loi binomiale ?

La répétition d'un certain nombre d'épreuve de Bernoulli dépendantes.
La répétition d'un certain nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes.
La répétition d'un certain nombre d'épreuves quelconques.

Mauvaise réponse !

La loi binomiale représente plusieurs épreuves de Bernoulli de manière indépendante. L'indépendance permet de calculer la probabilité totale par produits des probabilités uniques des épreuves de Bernoulli. Sans cette indépendance, il est bien plus compliqué de calculer la probabilité totale.

Que représentent canoniquement les paramètres (n ; p) d'une loi binomiale ?

n est le nombre d'épreuves successives et p la probabilité qu'elles donnent toutes une réussite
p est le nombre d'épreuves successives et n le paramètre des épreuves de Bernoulli
n est le nombre d'épreuves successives et p le paramètre des épreuves de Bernoulli

Mauvaise réponse !

On définit la loi binomiale (n ; p) comme la succession de n variables de Bernoulli de probabilité p. Comme ces paramètres sont clairement donnés, on peut rapidement accéder à toutes les probabilités. La formule P(X=i) avec X suivant une loi binomiale (n ; p) ne dépend que de i, n et p.

Quelle valeur peut prendre une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres (n ; p) ?

0 < X < n
-n < X < n
0 < X < 1

Mauvaise réponse !

Une variable aléatoire suivant une loi binomiale compte le nombre de réussites quand on réalise n épreuves de Bernoulli indépendantes. Une épreuve de Bernoulli donne 1 ou 0 en résultat pour la réussite ou l'échec et on a n essais au maximum de réussites et au minimum 0.

Quelle est la probabilité en lançant 5 dés d'affilée d'avoir deux 6 parmi les 5 lancers ?

Comb(3,5) x (1/6)²
Comb(3,5) x (1/6)⁵
Comb(3,5) x (1/6)² x (5/6)³

Mauvaise réponse !

En effet, on a ici une loi binomiale car on répète trois fois l'épreuve de Bernoulli dont le résultat est d'obtenir un 6 en lançant un dé. Une loi binomiale X de paramètre (n,p) donne une loi de probabilité P(X=i) = Comb(i,n) x (p)ⁱ x (1-p)^n-i.

L'expérience « on pioche 4 boules sans remise dans un jeu de 10, numéroté de 1 à 10 » suit une loi binomiale.

Vrai
Faux

Mauvaise réponse !

Cette expérience relève de 4 épreuves de Bernoulli où piocher une boule de valeur supérieure à 5 se solde bien par la réussite ou l'échec donnant la valeur 1 ou 0 respectivement. Cependant, sans remise des boules déjà tirées, on retire l'indépendance qui est condition d'une loi binomiale.

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La succession d'épreuves indépendantes

Quand, en mathématiques, on parle de probabilités, on étudie des événements aléatoires qui peuvent être dépendants les uns des autres ou non. Par exemple, la loi binomiale, qui est un exemple typique de loi de probabilité à épreuves indépendantes, permet notamment de trouver la probabilité d'avoir un certain nombre de 6 en 100 lancers de dés. Plus globalement, elle sert à connaître la probabilité de réussir un certain nombre de fois quelque chose en un plus grand nombre d'essai. On notera ici le coefficient binomial de x éléments parmi y Comb(x,y).

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