Cercle trigonométrique, longueur d'arc, radian

Qu'est-ce qu'un cercle trigonométrique, une longueur d'arc et un radian ? C'est ce que te propose de voir cette vidéo des Bons Profs, en commençant par leur définition _👇.

Définition du cercle trigonométrique et de la longueur d'arc

On appelle cercle trigonométrique noté C (O; 1) le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (c'est-à-dire le sens anti-horaire, ou bien le sens inverse des aiguilles d'une montre).
Son périmètre vaut P = D x π = 2π.

On trace la droite des réels tangente au cercle trigonométrique au point (1;0).

Par enroulement de la droite réelle D sur le cercle trigonométrique, on obtient les résultats suivants :

• A tout réel x de la droite et en notant N le point correspondant, on associe un point M unique sur ce cercle.

La longueur de l'arc AM est exactement égale à la longueur AN.

• A tout point M du cercle est associé une infinité de réels.

► En effet, si x est un réel, on obtient un autre réel sur la droite en écrivant x + 2kπ, avec k entier.

Cela vient du fait que l'on peut enrouler plusieurs fois la droite sur le cercle et donc repasser une infinité de fois en un point donné du cercle.
► En outre, la longueur du cercle correspondant au périmètre et valant donc 2π, un tour de cercle correspond donc à ajouter 2π.

On dira alors que x est défini modulo 2π.

Définition du radian, une nouvelle mesure d'angle

Un radian est la mesure d'un angle orienté IOM interceptant un arc de 1 unité sur le cercle trigonométrique.

Remarque : la longueur d'un arc et la mesure de l'angle qui l'intercepte sont proportionnelles. Il y a donc proportionnalité entre les degrés et les radians. La mesure de l'angle plein, c'est à dire 360° correspond à l'arc complet, c'est à dire 2π.

► On peut compléter le tableau de proportionnalité suivant, qui donne la correspondance entre les degrés et les radians :

Application :
Donner la mesure en radian d'un angle de 35°.
► On utilise donc le tableau de proportionnalité de correspondance entre les degrés et les radians :

Ainsi la valeur en radian est donnée par le calcul suivant :
35 x 2π / 360 = 7 x 5 x 2π / 36 x 10 = 7π / 36