Égalité - Identité - Équation

En mathématiques, tu entends souvent parler d’égalité, d’identité et d’équation. Dans cette vidéo, un professeur te rappelle ce que signifient ces trois notions.

Qu’est-ce qu’une égalité ?

C’est la plus simples des trois notions. Une égalité est une formulation de type :

8 = 8

Qu’est-ce qu’une identité ?

Une identité s’exprime au moyen d’une égalité dans laquelle intervient une ou plusieurs variables. Exemple :

Pour a et b, variables réelles.

(a+b)² = a² + 2ab +b²

Tu reconnais ici une identité remarquable. On appelle cela une identité car l’égalité est vérifiée quelles que soient les valeurs prises par les variables dans l’ensemble considéré (ici a et b).

Autre identité (trigonométrique) connue : Ɐx  ∈ ℝ cos²x + sin²x = 1

C’est une égalité comprenant une variable. Il s’agit d’une identité puisque pour toute valeur réelle, l’égalité est vérifiée.

Qu’est-ce qu’une équation à une variable ?

Une équation s’exprime aussi avec une égalité. Avec une variable, l’égalité n’aura lieu que pour certaines valeurs de la variable.

Résolvons dans ℝ l’équation : 3x + 5 = 2x + 1

On va chercher quelles sont les valeurs de la variable x (aussi appelée l’inconnue) pour lesquelles l’égalité est vérifiée. Si on remplace par exemple x par0, on obtient 5 = 1 ce qui est faux. 0 n’est donc pas une solution.

3x + 5 = 2x + 1 

3x - 2x = 1 - 5

x  = -4

La valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vérifiée est donc -4. C’est donc la solution aussi appelée la racine.

Qu’est-ce qu’une équation paramétrique ?

Nous allons déterminer les valeurs du paramètre réel m tel que l’équation : mx  + 2m - 5 = 0 admette 1 pour solution.

x est toujours l’inconnue.m est le paramètre. Donc pour chaque valeur de m on obtient une équation.

Sim = 0 on obtient l’équation -5 = 0  qui ne possède pas de solutions = ∅

Sim = 1 on obtient l’équationx - 3 = 0 qui possède une solutions = 3

La difficulté réside dans le fait que chaque valeur donne lieu à une équation. On a donc potentiellement une infinité d’équations. Or, on nous demande de trouver pour quelle valeur du paramètre réelm l’équation possède 1 pour solution. Donc :

1 est solution si et seulement sim + 2m - 5 = 0

Donc :  3 m = 5

m = 5/3

Pour vérifier, on remplace m  par 5/3

(5/3)x + (10/3) - 5 = 0

(5/3)x + (5/3) = 0

1 est donc bien la solution.

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