Égalité - Identité - Équation

En mathématiques, tu entends souvent parler d’égalité, d’identité et d’équation. Dans cette vidéo, un professeur te rappelle ce que signifient ces trois notions.

Qu’est-ce qu’une égalité ?

C’est la plus simples des trois notions. Une égalité est une formulation de type :

8 = 8

Qu’est-ce qu’une identité ?

Une identité s’exprime au moyen d’une égalité dans laquelle intervient une ou plusieurs variables. Exemple :

Pour a et b, variables réelles.

(a+b)2 = a2 + 2ab +b2

Tu reconnais ici une identité remarquable. On appelle cela une identité car l’égalité est vérifiée quelles que soient les valeurs prises par les variables dans l’ensemble considéré (ici a et b).

Autre identité (trigonométrique) connue :

C’est une égalité comprenant une variable. Il s’agit d’une identité puisque pour toute valeur réelle, l’égalité est vérifiée.

Qu’est-ce qu’une équation à une variable ?

Une équation s’exprime aussi avec une égalité. Avec une variable, l’égalité n’aura lieu que pour certaines valeurs de la variable. Résolvons dans R l’équation :

On va chercher quelles sont les valeurs de la variablex (aussi appelée l’inconnue) pour lesquelles l’égalité est vérifiée. Si on remplace par exemple x par0, on obtient 5 = 1 ce qui est faux. 0 n’est donc pas une solution.

La valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vérifiée est donc -4. C’est donc la solution aussi appelée la racine.

Qu’est-ce qu’une équation paramétrique ?

Nous allons déterminer les valeurs du paramètre réel m tel que l’équation :

   admette 1 pour solution.

xest toujours l’inconnue.m est le paramètre. Donc pour chaque valeur dem on obtient une équation.

Sim=0 on obtient l’équation-5=0  qui ne possède pas de solutions=∅

Sim=1 on obtient l’équationx-3=0 qui possède une solutions=3

La difficulté réside dans le fait que chaque valeur donne lieu à une équation. On a donc potentiellement une infinité d’équations. Or, on nous demande de trouver pour quelle valeur du paramètre réelm l’équation possède 1 pour solution. Donc :

1 est solution si et seulement sim+2m-5=0

Donc :  

Pour vérifier, on remplace m  par :

1 est donc bien la solution.

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