Construire et utiliser un arbre pondéré - exercice

Lorsqu’on calcule des probabilités, notamment conditionnelles, on peut utiliser la solution de l’arbre pondéré. Qu’est-ce que c’est ? Comment le construire et l’utiliser ensuite ? Réponse dans cette vidéo qui te propose un exercice corrigé.

Définition d'un arbre pondéré

Un arbre pondéré permet de schématiser les informations d’un énoncé, et de simplifier les calculs de probabilités, notamment conditionnelles. Les branches d’un arbre pondéré ont des propriétés multiplicatives.

► Exercice :

Trois candidats A, B et C se présentent à une élection. On sait 3 informations :

1. Le candidat A obtient la moitié des voix ; le candidat B, les trois dixièmes ; et le candidat C, le reste.
2. 30 % des électeurs de A, 60 % des électeurs de B et 50 % des électeurs de C, sont des hommes.
3. Parmi les électeurs, il y a 43 % d’hommes.

On décide d’interroger au hasard une personne s’étant prononcée pour l’un des trois candidats.

On note :

→ A : l’évènement « avoir voté pour le candidat A ».

→ B : l’évènement « avoir voté pour le candidat B ».

→ C : l’évènement « avoir voté pour le candidat C ».

→ F : l’évènement « être une femme ».

→ H : l’évènement « être un homme ».

Notations des probabilités et des probabilités conditionnelles

Commence par traduire les données de l’énoncé à partir des événements A, B, C, F et H.

► P(A) = 0,5

► P(B) = 0,3

► P_A(H) = 0,3

► P_B(H) = 0,6

► P_C(H) = 0,5

► P(H) = 0,43

Construction d’un arbre pondéré

Il s’agit ici de décrire des expériences aléatoires à l’aide d’un arbre pondéré. On va donc chercher à savoir :

• si l’électeur a choisi le candidat A, B ou C
• si l’électeur est un homme ou une femme

On peut traduire cette situation par 2 types d’arbres :

On privilégie l’utilisation de la structure du premier arbre en fonction des informations connues.

Calcul d’une probabilité à partir d’un arbre pondéré

On cherche la probabilité d’interroger une femme ayant voté pour le candidat C. 

► P(FՈC) = P(C) x P_C(F) = 0,2 x 0,5 = 0,1

Calcul d’une probabilité conditionnelle à partir d’un arbre pondéré

Traduis par une phrase et calcule la probabilité P_H(C)

P_H(C) signifie qu’on cherche à calculer la probabilité d’interroger un électeur ayant voté pour le candidat C, sachant qu’il est un homme.

⚠️ Ici, pour le calcul, on n'utilise pas directement l’arbre pondéré. On revient d'abord à la définition de la probabilité conditionnelle.

► P_H(C) = P(HՈC)/(P(H) = (0,2 x 0,5)/0,43 ≈ 0,23

💡Autrement dit: on divise la probabilité de l’intersection par la probabilité de la condition !

Traduis par une phrase et calcule la probabilité P_H(A)

► P_H(A) = P(HՈA)/(P(H) = (0,5 x 0,3)/0,43 ≈ 0,35

Traduis par une phrase et calcule la probabilité P_H(B)

► P_H(B) = P(HՈB)/(P(H) = (0,3 x 0,6)/0,43 ≈ 0,42

Est-il plus probable que cet électeur masculin ait voté pour le candidat A, B ou C ?

► Lorsqu’on se place dans le cadre où l’électeur est un homme, il est plus probable que cet électeur ait voté pour le candidat B.

👉 Entraîne-toi au calcul de probabilités conditionnelles avec un autre exercice, et teste tes connaissances avec ce quiz.