Annale corrigée : développer, factoriser

Pour préparer l’épreuve de mathématiques au brevet, nous vous proposons un corrigé d’un exercice dans lequel vous devez développer et factoriser.

Retrouvez en PDF l'exercice de maths avant de découvrir sa correction en vidéo.

Énoncé : on considère l’expression E =  (x − 2)(2x + 3) − 3(x − 2)

1. Développer E

Rappel : développer signifie simplifier.

Quand deux parenthèses se multiplient, il y a une double distributivité.

On distribue le x en le multipliant par à 2x et à 3. Vous le distribuez le -2 en le multipliant à 2x et à 3. Puis, vous distribuez -3 à (x - 2).

Ainsi :

E = 2x² + 3x – 4x – 6 - 3x + 6

Puis, vous simplifiez en retirant +3x, -3x, -6 et +6.

Donc :

E = 2x² - 4x

2. Factoriser E et vérifier que E = 2F, avec F = x(x − 2).

Rappel : factoriser est le contraire du développement, c’est-à-dire que vous devez créer une multiplication.

Tout d’abord, il faut repérer l’opération centrale. Ici, c’est la partie surlignée en rouge E =  (x − 2)(2x + 3) − 3(x − 2)

Puis, repérez le facteur commun. C’est la partie surlignée en jaune E =  (x − 2) (2x + 3) − 3(x − 2). Quand on l’enlève, il reste : (2x + 3) - 3

Ainsi, en respectant l’ordre des nombres, vous trouvez :

E =  (x − 2) [(2x + 3) - 3]

Puis, vous simplifiez ce qui a à l’intérieur des crochets en retirant +3 et -3 :

E =  (x − 2) x 2x

3. Déterminer tous les nombres x tels que x (x − 2)(2x + 3) − 3(x − 2) = 0.

On vous demande de résoudre à quel moment cette expression est égale à 0, c’est-à-dire qu’il faut trouver les valeurs de x pour lesquelles c’est égal à 0.

Vous avez le choix entre l’énoncé, le développement ou la factorisation. Quand c’est égal à 0, vous devez toujours utiliser la factorisation.

Ainsi :

2x x (x – 2) = 0

C’est une équation de produit nul. Rappel : le produit de deux facteurs est nul si au moins un des deux est nul.

Donc :

2x = 0 → alors : x = 0

ou

x – 2 = 0 → alors : x = 2

Pour vérifier vos formules, remplacer les x des différentes formules précédentes par 2 ou 0. À chaque fois, vous devez trouver comme résultat 0.