Annale corrigée : Scratch, fonctions

Pour préparer l’épreuve de mathématiques au brevet, nous vous proposons un corrigé d’un exercice qui fait appel à vos connaissances de scratch, des aires et des fonctions affines.

Retrouvez en PDF l'exercice de maths avant de découvrir sa correction en vidéo.

Exercice 1 : Scratch et aires

Question 1- b) Quelles sont les coordonnées du stylo après l’exécution de la ligne 8 ?

Après la ligne 7, vous avez avancé un peu car le programme vous a demandé de vous diriger vers la droite. Vous vous êtes placés sur le point D. L’idée était que vous avanciez de 300/6, c’est-à-dire 50. Vous vous retrouvez alors sur le point de coordonnés 50 en abscisse et 0 en ordonné → D (50, 0).

Question 2 : compléter la ligne 9 du programme pour obtenir la figure du document

Si on partage le segment en 6, on a 50 sur chaque côté et 200 au milieu pour faire la totalité de 300.

Pour faire le nouveau carré, vous devez faire une longueur de 200. Donc, vous mettez dans le programme à la ligne 9 : « Mettre longueur à 200 ». Vous avez ainsi un nouveau carré et un triangle équilatéral.

Question 3- a) Quelle est la transformation géométrique qui permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré ?

Il faut éviter ici tout ce qui est symétrie et translation car les longueurs sont conservées. Il faut donc aller chercher une homothétie car la petite longueur va se transformer en une longueur plus grande.

Vous deviez trouver le centre et le rapport. Intuitivement, K est le centre de l’homothétie. Le rapport se fait en faisant la longueur KD divisé par la longueur KO, sous-entendu, une petite longueur divisée par une grande.

Ainsi :

r = KD/KO

  = 100/150

  = 2/3

Question 3- b) Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dessinés ?

On appelle A1 l’aire du petit carré et A2 l’aire du grand carré.

Si le rapport de l’homothétie est de 2/3, alors le rapport entre les deux aires sera de deux tiers au carré.

Ainsi :

A1/A2 = (2/3)²

            = 4/9

Donc, l’aire du petit carré vaut 4/9.

Conseils : garder les fractions et ne donnez pas des valeurs décimales approchées.

Exercice 2 : fonctions affines

Question 1 : Le temps et la vitesse de rotation du « hand-spinner » sont-ils proportionnels ?

Le graphique n’est pas linéaire, il ne passe pas par l’origine. Donc, il n’y a pas de proportionnalité.

Rappel : la proportionnalité est lorsqu’une droite passe par l’origine.

Question 2 - a) Quelle est la vitesse de rotation initiale du « hand-spinner » (en nombre de tours par seconde) ?

Lorsqu’on est en P = 0, on lit sur le graphique que la valeur en zéro vaut 20 tours par seconde.

Ainsi :

V₀ = 20 t/s

Question 2 - b) Quelle est la vitesse de rotation du « hand-spinner » (en nombre de tours par seconde) au bout d’une minute et vingt secondes ?

Verticalement, on avance de 1 en 1. En revanche, sur l’horizontal, on va de 0 à 20 en cinq graduations. Donc, l’unité mesure 4.

Au bout de 1 min 20 sec, c’est-à-dire 80 sec, on lit qu’on est à 3 tours par seconde :

1 min 20 = 80 sec

V₂₀ = 3 t/s.

Question 2 - c) Au bout de combien de temps, le « hand-spinner » va-t-il s’arrêter ?

Lorsque V vaut zéro, on lit qu’on est approximativement entre 92 ou 96 secondes, soit 1 min 34 sec. Le hand-spinner s’arrête donc à 1 min 34 sec environ.

Question 3- a) Calculer sa vitesse de rotation au bout de 30 s.

On donne ici la vraie expression de la vitesse du hand-spinner. C’est une fonction affine de la forme A x T + B si la variable est le temps.

v (t) = -0,214 x t + 20

On l’a calculé au bout de 30 secondes :

v (30 sec) = -0,214 x 30 + 20

                 = 13,58 t/s

Question 3- b) Au bout de combien de temps le hand-spinner va-t-il s’arrêter ?

Vous devez chercher ici à quelle moment la vitesse vaut 0 → v (t) = 0.

La vitesse vaut 0 lorsque :

v (t) = -0,214 x t + 20 = 0

On passe le 20 de l’autre côté :

v (t) = 0,214 x t = 20

t = 20/0,214

  = 93,5 s

  = 1 min 34 sec

Question 3 - c) Est-il vrai que, d’une manière générale, si l’on fait tourner le hand-spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps ?

On vous demande si la vitesse, au lieu d’être à 20, était à 40, c’est-à-dire deux fois plus rapide, le hand-spinner durerait plus longtemps.

Si la vitesse initiale vaut 40 alors la vitesse est égale à 0 lorsqu’au lieu d’avoir -0,214 x t + 20 = 0, on aurait -0,214 x t = 40.

Alors :

t = 40/0,214

  = 187 sec environ, soit 3 min 7 sec.

Le résultat représente le double de la valeur précédente qui était de 1 min 34 sec. Donc, si la vitesse initiale est double, le hand-spinner tournera deux fois plus longtemps.