Annale corrigée : Pythagore, cercles, aires

Pour préparer l’épreuve de mathématiques au brevet, nous vous proposons un corrigé d’un exercice de géométrie qui allie le théorème de Pythagore et les aires.

Retrouvez en PDF l'exercice de maths avant de découvrir sa correction en vidéo.

Tracer une figure géométrique

Question 1 : Sur la copie, réaliser la construction avec AB = 3 cm

Conseils : Tracer le carré le ABCD sans vous tromper dans l’ordre des lettres. Vous tracer le cercle de rayon AC qui coupe la demi-droite AB en deux. Puis, vous pouvez tracer le carré bleu.

Triangle rectangle : application du théorème de Pythagore

Question 2 - a) Montrer que AC = √200 cm

Le triangle ABC est un triangle rectangle car ABCD est un carré. Donc, on peut utiliser le théorème de Pythagore.

Ainsi :

AC² = AB² + BC²

AC = √10²+10² = √200 cm

Logique et géométrie

Question 2 - b) Expliquer pourquoi AE = √200 cm

E appartient au cercle et A est le centre du cercle. Ainsi, AE est aussi le rayon et donc il est égal à AC. Donc AE = √200 cm.

Calcul de l’aire d’un carré

Question 2 - c) Montrer que l’aire du carré DEFG est le triple de l’air du carré ABCD.

Vous devez calculer les deux aires.

Rappel :

Aire d’un carré = côté x côté

Aire ABCD = AB x AB = 100 cm²

Pour calculer l’aire de DEFG, on a besoin de connaître l’un des côtés (exemple : DE). Pour calculer DE, on se place sur le triangle ADE et on applique le théorème de Pythagore.

Ainsi :

DE² = AD² +AE²

DE = √10² + √200² = √300 cm

Donc :

Aire DEFG = DE x DE

Aire DEFG = √300 cm x √300 cm = 300 cm²

Aire et théorème de Pythagore à l’envers

Question 3 : En exécutant ce programme de construction, on souhaite obtenir un carré DEFG ayant une aire de 48 cm². Quelle longueur AB faut-il choisir au départ ?

Dans cette dernière question, on vous demande de faire le travail à l’envers. On sait qu’une aire est égale au triple de l’autre. Puis, on vous demande de retrouver la valeur de AB. Pour cela, vous devez remonter tout l’exercice. On sait que l’aire DEFG est égal à 48 cm² et qu’il correspond au triple de l’aire ABCD. Alors, pour trouver l’aire ABCD, vous faîtes le tiers de l’aire DEFG.

Ainsi :

Aire ABCD = 48/3  = 16 cm²

Pour trouver la longueur AB, on utilise le théorème de Pythagore en l’inversant.

Ainsi :

Aire ABCD = AB x AB = 16 cm²

Donc, AB = √16 = 4 cm