Annale corrigée : programme de calcul, développements, Pythagore, trigonométrie

Pour préparer l’épreuve de mathématiques au brevet, nous vous proposons un corrigé d’un exercice dans lequel vous devez mobiliser vos connaissances sur les programmes de calcul, les développements, le théorème de Pythagore et la trigonométrie.

Retrouvez en PDF l'exercice de maths avant de découvrir sa correction en vidéo.

Exercice 1 : théorème de Pythagore et trigonométrie

Question 1 : Montrer que la longueur BD est égale à 4 cm

Pour répondre à la question, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle BCD.

Ainsi :

BD² = CD² - CB²

BD² = 72,25 - 56,25

BD² = 16

BD = 4 cm.

Question 2 : Montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables.

Pour démontrer que ces triangles sont semblables, il faut faire des calculs de rapport. On divise le plus grand côté du premier triangle par le plus grand côté du deuxième triangle.

Ainsi :

EB/CD = 6,8/8,5 = 0,8.

Puis, on divise le plus petit côté du premier triangle par le plus petit côté du deuxième triangle.

Ainsi :

FE/BD = 3,2/4 = 0,8

On trouve aussi le même résultat lorsqu’on divise les deux autres côtés restants.

Ainsi :

FB/BC = 6/7,5 = 0,8

Les trois rapports sont égaux. Donc, les triangles sont semblables.

Question 3 : Sophie affirme que l’angle BFE est un angle droit. A-t-elle raison ?

Si les triangles sont semblables, alors les angles deux à deux, c’est-à-dire que l’angle droit CBD se retrouve aussi dans l’angle BFE.

Donc, on a bien un triangle rectangle en F.

Question 4 : Max affirme que l’angle ACD est un angle droit. A-t-il raison ?

Le plus simple est de calculer le cosinus de cet angle en faisant adjacent/hypoténus (trigonométrie).

Ainsi :

BC/CD = 7,5/8,5.

La calculatrice donne alors un angle de 28° environ pour BCD. En ajoutant 61°, on trouve 89°.

28 + 61 = 89°.

Donc, l’angle n’est pas droit.

Exercice 2 : programme de calcul et développements

Question 1 : Vérifier que si on choisit le nombre -1, ce programme donne 8 comme résultat final.

Choisir un nombre : x  →  -1

Multiplier par 4 : 4x  → -4

Ajouter 8 : 4x + 8  → 4

Multiplier par 2 : 2(4x + 8)  → 8

Question 2 : Le programme donne 30 comme résultat final. Quel est le nombre choisi au départ ? Dans la suite de l’exercice, on nomme x le nombre choisi au départ.

Vous allez devoir résoudre une équation.

Ainsi :

2(4x + 8) = 30 → vous faites passer le 2 à droite, il devient /2 → 30/2 = 15

4x + 8 = 15 → vous faites passer le +8 à droite, il devient -8

4x = 15 – 8 = 7

4x = 7

x = 7/4

Question 3 : L’expression A = 2(4x + 8) donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre x donné. On pose B = (4 + x)² - x². Prouver que les expressions A et B sont égales pour toutes les valeurs de x.

Vous devez développer cette identité remarquable de la forme B = (4 + x)² – x²

Ainsi :

B = (4 + x)² – x²

B = 16 + 8x + x² -x²

B = 8x + 16

B = 2(4x + 8) = A

Donc A et B sont tout le temps égal pour les valeurs de x.

Question 4 : Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.

Affirmation 1 : Ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de x.

Il existe deux façons de faire. Si vous prenez x = -5

Ainsi :

2(4x + 8)

2(4 x -5 + 8)

2(-20 + 8)

2 x (-12)

= -24

Donc, le résultat est négatif. Donc, il suffisait de trouver un contre-exemple pour montrer que c’était faux.

L’autre manière de procéder est plus astucieuse : essayez de résoudre dans quelle condition 2(4x + 8) était négatif. On trouve alors que toutes les valeurs plus petites que -2 étaient des solutions.

Affirmation 2 : Si le nombre x choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de 8.

Il fallait remarquer que dans 8x + 16, il y a un facteur commun. Donc, vous pouviez le factoriser sous la forme 8(x + 2).

Ainsi :

A = 8x + 16 = 8(x + 2).

Mais si x est un entier, (x + 2) aussi devient un entier. Donc, le nombre A s’écrit sous la forme suivante : 8 multiplié par un nombre entier. C’est la définition d’un multiple de 8.  Donc, A est un multiple de 8.